Алгебра Лі — векторний простір, на якому визначена операція комутації. Для елементів алгебри визначені лінійні операції — додавання і множення на число (існує дійсна і комплексна алгебри Лі — з множенням відповідно на дійсні та комплексні числа). Операція комутування зіставляє будь-яким двом елементам алгебри третій . Ця операція білінійна (лінійна по кожному з елементів), антисиметрична і задовільняє тотожності Якобі:

.

Поняття алгебри Лі виникло у зв'язку з вивченням груп Лі, оскільки елементи групи Лі можна представляти у вигляді експонент від елементів алегбри Лі (базисні елементи в цьому разі називатимуться генераторами відповідної групи). Якщо група Лі реалізована як група матриць, то відповідна їй алгебра Лі теж є матричною. Це означає, що кожний елемент алгебри є матрицею, а операція комутування визначенна як звичайний комутатор .


Зв'язок між алгебрами Лі й групами ЛіРедагувати

Нехай   - базисні елементи алгебри Лі рангу  , так що   Тоді

 

де   структурні сталі, антисиметричні по двом нижнім індексам. По однаковим індексам  , які зустрічаються знизу та зверху здійснюється сумування від 1 до   Точковим представленням алгебри Лі   у термінах асоціативної алгебри   називається закон, який кожному елементові   де   - довільні дійсні числа, ставить у відповідність елемент   де   - так звані генератори представлення алгебри Лі - лінійно незалежні й пов'язані між собою співвідношеннями

  При цьому припускається, що   містить одиницю   та що ряд

 

збігається за усіх дійсних значень   Нехай   - квадратна матриця порядку   із елементами

 

яка характеризує Приєднане представлення групи Лі. Якщо   - одинична матриця порядку   то

 

Матриці   та   є невиродженими (тобто зворотними),

 

так що за малих значень   матриці   та   близькі до одиничної матриці й їх визначники є відмінними від нуля.

Для області значень параметрів  , у якій невироджена матриця  , мають місце тотожності[1]:

 

де

 

ЛітератураРедагувати

Див. такожРедагувати


  1. Г.А.Зайцев - Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.