Загальна лінійна група
Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.
Формальне визначення
ред.Загальною лінійною групою порядку називається четвірка , де:
- є асоціативним кільцем з одиницею,
- — оборотні матриці порядку над даним кільцем,
- Груповою операцією є множення матриць,
- Зворотним елементом є обернена матриця,
- Одиничним елементом є одинична матриця.
Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.
Векторні простори
ред.Якщо — векторний простір над полем , то загальною лінійною групою лінійного простру або називається група всіх автоморфізмів , тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень де груповою операцією є композиція відображень .
Якщо простір V має скінченну розмірність , то і ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів . Якщо — базис, і автоморфізмів , маємо
для деяких констант . Матриця, відповідна має елементами .
Визначники
ред.Матриця є оборотна над полем , якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця маємо: матриця над є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в . Отже, може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.
Спеціальна лінійна група
ред.Спеціальною лінійною групою порядку над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку з елементами поля , визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається .
Примітки
ред.- Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
- Спеціальну лінійну групу можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .
Скінченні поля
ред.Якщо є скінченним полем з елементами, іноді використовується запис .
Порядок
ред.Порядок групи
- .
Для прикладу, порядок рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи
Аналогічні формули для :
- .
Властивості
ред.- Якщо n > 2, то група не є абелевою.
- є нормальною підгрупою .
- Нехай буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
- .
- є напівпрямим добутком
Пов'язані групи
ред.Проективна група
ред.Проективна група і проектні спеціальні лінійні групи є факторгрупами і відносно скалярних матриць.
Афінна група
ред.Афінна група — розширення за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:
- . Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.
Див. також
ред.Література
ред.- Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703