Векторне поле [X,Y] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X. Узагальненням дужки Лі є похідна Лі, яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X.
Векторне поле X на гладкому многовидіM
можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)). Дужка Лі, [X,Y], для векторних полів X і Y визначається як
Визначений так оператор [X,Y] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:
Нехай потік для векторного поляX, а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці p∈M може бути визначена як
або еквівалентно:
Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо є функцією на , де є відкритий інтервал і для всіх , то функція задовольняє властивості і де використані позначення , для .
Звідси випливає, що якщо є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція така, що і . Ця функція визначається для кожного фіксованого для для деякого . Дійсно, якщо ввести функцію то для всіх і з попереднього існує функція для якої і
Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями і позначивши асоційований локальний базис дотичного розшарування, локально векторні поля можна записати як
де and — деякі гладкі функції. Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як
Сама форма запису показує, що [X,Y] є векторним полем.
Разом з операцією дужок Лі векторний простій всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування многовида ) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням з такими властивостями:
is R-білінійним відображенням, тобто для всіх векторних полів X,Y, Z;
і, еквівалентно, для всіх векторних полів ;
Ця властивість називається тотожністю Якобі;
Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність
тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх x∈M і достатньо малих дійсних чисел s, t виконується рівність .
Нехай тепер M, N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M. Тоді виконується рівність:
Для точки диференціал dF є відображенням з дотичного простору в дотичний простір таким що для функції за визначенням і тому Тож для довільних гладких векторних полів і всіх функцій
=X(Y(f))-Y(X(f)),\;\;\forall f\in C^{\infty }(M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1d1f1d2e462709fe85f04988ef5733354a9626)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][X,Y](fg)=&X(Y(fg))-Y(X(fg))=X(fY(g))+X(gY(f))-Y(fX(g))-Y(gX(f))=\\&fX(Y(g))+X(f)Y(g)+X(g)Y(f)+gX(Y(f))-fY(X(g))-Y(f)X(g)-Y(g)X(f)-gY(X(f))=\\&f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d704fd3d113aee6322c54b39a0c7792b17d5e37)
![{\displaystyle [X,Y]_{p}:=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c41c6ec29bbf11a642e939ca06768a956678437)
![{\displaystyle [X,Y]_{p}:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(p)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X})(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c47d8525c1830c49f7b296c46b229a34046527)
![{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{p(t)}}{t}}f=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}f-Y_{p(t)}f}{t}}-\lim _{t\to 0}(Y_{p(t)}g_{t})=X_{p}(Yf)-Y_{p}g_{0}=[X,Y]_{p}f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c351d173ad83deab8a2da71e603394c7907dfcad)
![{\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd994a04acb97f4592563a1da3eb120c0809aea2)
![{\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd9a06081bb7fccd74da9e43dbca1ca86e63d07)
![{\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ad49dd7a8f4655150a8f4bd87be85368684b3c)
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle [X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z],\;[X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65e1d3c625b050a0d56e6d08365ad660bb6466d)
![{\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83000adb60191d8bf98aa44197297ce92213c45)
![{\displaystyle [X,X]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96f040cce00a009ddf39e12baa062abfdcdb8b8)
![{\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c707bdbfe1f93e908a3b9c7e25af5fd0eca82)
![{\displaystyle [X,fY]=X(f)Y+f[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07712ce3f0d77e54013b74cea42682a7da52eb11)
![{\displaystyle [X,Y]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8211df4720629ec640fba8f45cfc43378b9e4)
![{\displaystyle \operatorname {d} F([X,Y])=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779d007a9f3b2cce0b493fbe9ceee688615824b4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} F[X,Y]_{F(p)}(g)=[X,Y]_{p}(g\circ F)\\&=X_{p}(Y(g\circ F))-Y_{p}(X(g\circ F))\\&=X_{p}(\operatorname {d} F(Y)(g)\circ F)-Y_{p}(\operatorname {d} F(X)(g)\circ F)\\&=\operatorname {d} F(X)_{F(p)}(\operatorname {d} F(Y)(g))-\operatorname {d} F(Y)_{F(p)}(\operatorname {d} F(X)(g))\\&=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]_{F(p)}(g)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d300793338908a89034310cef88b3fca83adaf3)