Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

ВизначенняРедагувати

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на многовидіРедагувати

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай  ,   і   — простір тензорів типу   з природним тензорним представленням групи  , тоді структура типу   є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу  .

Визначення через поняття тензорного розшаруванняРедагувати

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування   на диференційовному многовиді  , ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

 

Нестрогі визначенняРедагувати

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду   ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосуванняРедагувати

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне полеРедагувати

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означенняРедагувати

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці   многовиду   деякий тензор фіксованої валентності  , віднесений до цієї точки  . Нехай тепер   — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над  , і нехай   — канонічна проекція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці   у многовиді   деякий тензор фіксованого валентності   на   віднесений до точки  .

ЛітератураРедагувати