Тензорне поле

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на многовиді

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n}$, $V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )$ і $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ — простір тензорів типу $(p,\;q)$ з природним тензорним представленням групи $GL^{1}(n)=GL(n)$, тоді структура типу $V_{q}^{p}$ є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу $(p,\;q)$.

Визначення через поняття тензорного розшарування

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування $T^{p,\;q}(M)$ на диференційовному многовиді $M$, ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

$T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{*}.$

Нестрогі визначення

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду $M$ ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $\displaystyle x$ многовиду $\displaystyle M$ деякий тензор фіксованої валентності $\displaystyle (p,q)$, віднесений до цієї точки $\displaystyle x$. Нехай тепер $\displaystyle {\tilde {M}}$ — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над $\displaystyle M$, і нехай $\displaystyle \pi :{\tilde {M}}\to M$ — канонічна проєкція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці $\displaystyle y$ у многовиді $\displaystyle {\tilde {M}}$ деякий тензор фіксованого валентності $\displaystyle (p,q)$ на $\displaystyle {\tilde {M}}$ віднесений до точки $\displaystyle x=\pi (y)$.

Література

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — Москва : Мир, 1965. — Т. 5. — С. 333.
• Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 664 с.