Те́нзор (від лат. tendere, «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття як скаляр, вектор, ковектор, лінійний оператор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

Тензор механічних напружень, тензор другого порядку. Компоненти тензора у тривимірній Декартовій системі координат утворюють матрицю
,
стовпцями якої є напруження (сили на одиницю площі), що діють на грані куба e1, e2, і e3.

В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.

ОзначенняРедагувати

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів (1-форм) на V)

 

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним.

Означення тензорного об'єктаРедагувати

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора   є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

 

де (взаємно обернені) матриці переходу   є частинними похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

 

ПрикладиРедагувати

  • Тензор рангу (0,0) є скаляр;
  • Тензор рангу (1,0) є вектор;
  • Тензор рангу (0,1) є ковектор (коваріантний вектор), тобто елемент простору V*;
  • Тензор рангу (0,2) є білінійна форма;
  • Тензор рангу (1,1) є лінійний оператор.
  • Форма об'єму на  -мірному лінійному просторі є прикладом антисиметричного тензора ранга   (або   раз коваріантного)
  • Тензор кривини   — приклад тензора ранга  , його згортки — тензор Річчі   і скалярна кривина   — приклади тензорів відповідно ранга   і  , тобто останній — скаляр.
  • Символ Леві-Чивіти — тензор 3-го ранга  .

Тензорні операціїРедагувати

Тензори допускають такі унарні операції:

  • Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
  • Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

  • Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
  • Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо   і  , то їх добуток
 

Тензор як мультилінійна функціяРедагувати

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію   з  , яка лінійна по кожному аргументу   (такі функції називаються полілінійними), тобто

 
 

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

 

де  

Компоненти тензораРедагувати

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення   є числа

 
 

де   є базис в просторі  , дуальний базису   (тобто  , де   є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів  , зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів  , відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

СиметріїРедагувати

В різного роду застосуваннях часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним за двома ко-(контра-)варіантними індексами називається тензор, який задовольняє такій вимозі:

 


 


або в компонентах

 
 

 
 .

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):

 


 

або в компонентах

 
 

 
 .

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може стосуватися тільки індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більше ніж двох індексів. При цьому за будь-якої перестановки індексів, за якими тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати