Нехай і — скінченновимірнівекторні простори над полем, — базис в , — базис в . Тензорним добутком просторів і будемо називати векторний простір, породжений елементами , що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток довільних векторів можна визначати, вважаючи операцію білінійною:
При цьому тензорний добуток довільних векторів і виражається як лінійна комбінація базисних векторів . Елементи у , що представляються у вигляді , називаються розкладними.
Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.
Тензорний добуток — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору і білінійного відображення існує єдиний гомоморфізм такий, що
Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в і , оскільки всі простори, які при цьому отримуються виявляються канонічно ізоморфні.
Таким чином, довільне білінійне відображення може бути визначене як лінійне відображення , при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.
Простори і є канонічно ізоморфними.
Іншими словами, довільний функтор називається тензорним добутком. Нехай - категорія із тензорним добутком Умовою асоціативності для є ізоморфізм
Тому для будь-якої трійки об'єктів категорії є ізоморфізм
(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:
або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах проводиться неявне сумування):
.
Звідси слідує, що та
Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:
Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекерівським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ.outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу)[1][2].
Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.
Нехай — модулі над деяким комутативнимкільцем. Тензорним добутком цих модулів називається модуль над , даний разом з полілінійним відображенням що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля над і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів такий, що діаграма
є комутативною. Тензорний добуток позначається . Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.
Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль, твірними якого будуть n-ки елементів модулів де . Нехай — підмодуль , що породжується такими елементами:
Тензорний добуток визначається як фактор-модуль, клас позначається , і називається тензорним добутком елементів , a визначається як відповідне індуковане відображення.
З 1) и 2) слідує що відображення полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів , такий, що .
Насправді, оскільки вільний, то існує єдине відображення , що робить діаграму
комутативною, а в силу того, що полілінійне, то на , звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що , буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.
Елементи , що представляються у вигляді , називаються розкладними.
Якщо — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню
що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів .
Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай — базис модуля . Побудуємо вільний модуль над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам , визначивши відображення і поширюючи його на по лінійності. Тоді є тензорним добутком, де є тензорним добутком елементів . Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то