Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів і є лінійний простір, що позначається , для елементів і , їх тензорний добуток лежить у просторі .

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів

ред.

Скінченновимірні простори

ред.

Нехай   і   — скінченновимірні векторні простори над полем  ,   — базис в  ,   — базис в  . Тензорним добутком   просторів   і   будемо називати векторний простір, породжений елементами  , що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток   довільних векторів   можна визначати, вважаючи операцію   білінійною:

 
 

При цьому тензорний добуток довільних векторів   і   виражається як лінійна комбінація базисних векторів  . Елементи у  , що представляються у вигляді  , називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність

ред.

Тензорний добуток — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору   і білінійного відображення   існує єдиний гомоморфізм   такий, що

 

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в   і  , оскільки всі простори, які при цьому отримуються   виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення   може бути визначене як лінійне відображення  , при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори   і   є канонічно ізоморфними.

Іншими словами, довільний функтор   називається тензорним добутком. Нехай   - категорія із тензорним добутком   Умовою асоціативності для   є ізоморфізм

 

Тому для будь-якої трійки   об'єктів категорії  є ізоморфізм

 

такий, що діаграма

 

є комутативною для морфізмів   категорії  .

Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Гопфа.

Часткові випадки

ред.

Тензорний добуток двох векторів

ред.

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

 

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах проводиться неявне сумування):

 .

Звідси слідує, що   та  

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

 
 
 

Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекерівським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ. outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу)[1][2].

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів

ред.

Нехай  ,   — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів   визначається за правилом

 

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

 
 

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

 
 

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості

ред.
  •  

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

  • Асоціативність
 
  • Комутативність
 
  • Лінійність
 
  — зовнішня сума лінійних просторів.

Тензорний добуток модулів над кільцем

ред.

Нехай   — модулі над деяким комутативним кільцем  . Тензорним добутком цих модулів називається модуль   над  , даний разом з полілінійним відображенням   що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля   над   і будь-якого полілінійного відображення   існує єдиний гомоморфізм модулів   такий, що діаграма

 

є комутативною. Тензорний добуток позначається  . Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль  , твірними якого будуть n-ки елементів модулів   де  . Нехай   — підмодуль  , що породжується такими елементами:

  1.  
  2.  

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль  , клас   позначається  , і називається тензорним добутком елементів  , a   визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення   полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю   і будь-якого полілінійного відображення   існує єдиний гомоморфізм модулів  , такий, що  .

Насправді, оскільки   вільний, то існує єдине відображення  , що робить діаграму

 

комутативною, а в силу того, що   полілінійне, то на    , звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що  , буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи  , що представляються у вигляді  , називаються розкладними.

Якщо   — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

 

що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів  .

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай   — базис модуля  . Побудуємо вільний модуль   над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам  , визначивши відображення   і поширюючи його на   по лінійності. Тоді   є тензорним добутком, де   є тензорним добутком елементів  . Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

 .

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Примітки

ред.
  1. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (вид. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. Keller, Frank (23 лютого 2020). Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product (PDF). inf.ed.ac.uk. Процитовано 6 вересня 2020.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url (посилання)