Декартів добуток множин

(Перенаправлено з Прямий добуток)

доповнення

об'єднання
перетин

різниця

симетрична різниця
декартів добуток



У теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перший компонент належить множині X, а другий — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток множин та

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X × Y:

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13 × 4 = 52) {(A, червоний), (K, червоний), …, (2, червоний), (A, чорний), …, (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добутокРедагувати

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел   є двовимірний простір (площина)   — множина усіх точок з координатами (x, y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, …, Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

 

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою.

n-арний декартів добуток однієї множини X × … × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

ВластивостіРедагувати

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A × B) × C ≠ A × (B × C), A × B ≠ B × A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не справедлива):

 

Дистрибутивність буде виконуватись для таких операцій:

 
 
 
 

Для підмножин будуть правильні твердження:

  • Якщо  , то  
  • Якщо  , то  

ПроєкціїРедагувати

Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на i-ту вісь (або i-ю проєкцією) називається i-та координата xi кортежу A, позначається Pri (A) = xi.

Проєкцією кортежу A = (x1, x2, …, xn) на осі з номерами i1, i2,…, ik називається кортеж (xi1, xi2, …, xik), позначається Pri1, i2, …, ik(A).

Приклад: Якщо V = {(a, b, c), (a, c, d), (a, b, d)}, то Pr1V = {a}, Pr2V = {b, c}, Pr2, 3V = {(b, c), (c, d), (b, d)}.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати