Добуток Кронекера

Добуток Кронекера — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається . Результатом є блочна матриця.

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика Леопольда Кронекера.

ВизначенняРедагувати

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

 

Білінійність, асоціативність та некомутативністьРедагувати

 
 
 
 
де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.
 

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A   B та B   A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

 , де   - одинична матриця.

ТранспонуванняРедагувати

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

 

Мішаний добутокРедагувати

  • Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді
 
  • A   B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді
 

Сума та експонента КронекераРедагувати

  • Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і   — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера  , як
 
  • Також справедливо
 

Спектр, слід та визначникРедагувати

  • Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, …, λn — власні значення матриці A та μ1, …, μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A   B є
 
  • Слід та визначник добутку Кронекера рівні
 
 

Сингулярний розклад та рангРедагувати

 

Ненульові сингулярні значення матриці B:

 

Тоді добуток Кронекера A   B має rArB ненульових сингулярних значень

 
  • Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
 

Блокові версії добутку КронекераРедагувати

У випадку блочних матриць можуть використовуватися операції, які пов'язані з добутком Кронекера однак відрізняються порядком перемноження блоків. Такими операціями є добуток Трейсі – Сінгха (англ. Tracy–Singh product) і добуток Хатрі-Рао.

Добуток Трейсі-СінгхаРедагувати

Вказана операція множення блокових матриць полягає в тому, що кожен блок лівої матриці множиться послідовно на блоки правої матриці. При цьому формується структура нової матриці, яка відрізняється від характерної для добутку Кронекера. Добуток Трейсі - Сінгха визначається як[1][2]

 

Наприклад:

 
 

Добуток Хатрі-РаоРедагувати

Докладніше: добуток Хатрі-Рао

Даний варіант добутку визначений для матриц з однаковою блоковою структурою. Він передбачає, що операція кронекерівського добутку виконується поблоково, в межах однойменних матричних блоків за аналогією з поелементним добутком Адамара, тільки при цьому в якості елементів задіяні блоки матриць, а для переноження блоків використовується добуток Кронекера.

Торцевий добутокРедагувати

Докладніше: торцевий добуток

Властивості мішаних добутків:
 [3], де   означає торцевий добуток

 [4][5],

За аналогією:
 ,

 [6], де   і   - вектори,

 [7],
Аналогічно:

 

 ,
де   означає векторну згортку, а   є матрицею дискретного перетворення Фур'є[8],

 [4][5], де   означає стовпцевий добуток Хатрі-Рао

Окрім того:
 ,

 , де   і   - вектори.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Tracy, D. S.; Singh, R. P. (1972). A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation. Statistica Neerlandica 26 (4): 143–157. doi:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x. 
  2. Liu, S. (1999). Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products. Linear Algebra and Its Applications 289 (1–3): 267–277. doi:10.1016/S0024-3795(98)10209-4. 
  3. Slyusar, V. I. (December 27, 1996). End products in matrices in radar applications.. Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50–53. 
  4. а б Slyusar, V. I. (March 13, 1998). A Family of Face Products of Matrices and its Properties. Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999. 35 (3): 379–384. doi:10.1007/BF02733426. 
  5. а б Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
  6. Slyusar, V. I. (1997-09-15). New operations of matrices product for applications of radars. Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73–74. 
  7. Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv
  8. Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591. 

ДжерелаРедагувати

  • Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.