Білінійне відображення

Білінійне відображення — це відображення декартового добутку V × W в X

B : V × WX,      (V,W,X — векторні простори над одним і тим самим полем F)

що володіє властивістю лінійності за кожним зі своїх аргументів.

  • Тобто для кожного w з W відображення
vB(v, w) є лінійним відображенням з V в X.
  • І для кожного v з V відображення
wB(v, w) є лінійним відображенням з W в X.

- це лінійне відображення від до . Іншими словами, коли ми тримаємо перший запис білінійного відображення фіксованим, дозволяючи другому запису змінюватися, результат є лінійним оператором і аналогічно, коли ми тримаємо другий запис фіксованим. У випадку Таке відображення задовольняє наступним властивостям.

  • Для будь-якого \lambda \in \mathbb{F}</math>, .
  • Відображення є добавкою в обох компонентах: якщо і , тоді

and . Якщо V = W, і ми маємо B(v, w) = B(w, v) для всіх v, w in V, то ми говоримо , що B є симетричним . Якщо X - базове поле F , то відображення називають білінійною формою, яка добре вивчена (див., Наприклад, скалярний добуток, внутрішній добуток і квадратична форма).

МодуліРедагувати

Роботи визначення без будь - яких змін , якщо замість векторних просторів над полем F , ми використовуємо модулі над комутативним кільцем R. Він узагальнює n-ари функції, де власний термін є мультилінійним. Для некомутативних кілець R і S, лівого R -модуля M і правого S -модуля N білінійне відображення - це відображення B : M × NT з T (R, S) - бімодуля , і для якої будь-який n в N , mB(m, n) - R - модульний гомоморфізм, і для будь-якого m в M , nB(m, n) - модульний гомоморфізм. Це задовольняє

B(rm, n) = rB(m, n)
B(m, ns) = B(m, n) ⋅ s

для всіх m в M , n в N , r в R і s в S , а також B, який є адитивним у кожному аргументі.

ВластивостіРедагувати

  •  

ПрикладиРедагувати

  • Множення матриць є білінійним відображенням M(m,n) × M(n,p) → M(m,p).
  • Для векторного простору V над полем F, білінійна форма в V — це білінійне відображення V × VF.
  • Векторний добуток в R3 є білінійним відображенням R3 × R3R3.

ЛітератураРедагувати