Комутативне кільце
Комутативне кільце — кільце, в якому операція множення є комутативною.
Вивченням кілець взагалі займається теорія кілець (частина абстрактної алгебри). А вивченням комутативних кілець, їх ідеалів та модулів над такими кільцями займається комутативна алгебра.
Алгебрична геометрія та Алгебрична теорія чисел базуються саме на комутативній алгебрі.
Деякі підвиди комутативних кілець (перечислені в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
- комутативне кільце ⊃ область цілісності ⊃ Цілозамкнена область ⊃ факторіальне кільце ⊃ кільце головних ідеалів ⊃ евклідове кільце ⊃ поле.
Зміст
Визначення і прикладиРедагувати
ВизначенняРедагувати
Кільце це множина R, що містить додатково дві бінарні операції, тобто операції, що поєднують будь-які два елементи кільця у третій елемент. Ці операції називаються додавання і множення і як правило позначаються символами "+" і "⋅"; тобто a + b і a ⋅ b. Щоб утворювати кільце ці операції повинні задовольняти декільком властивостям: кільце повинно бути абелевою групою відносно додавання, а також моноїдом відносно множення, де множення є дистрибутивним відносно додавання; тобто, a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). Одиничні елементи для додавання і множення позначаються як 0 і 1, відповідно.
Якщо множення ж комутативним, тобто
- a ⋅ b = b ⋅ a,
тоді кільце R називають комутативним.
ПрикладиРедагувати
Важливим прикладом, в певному сенсі вирішальним, є кільце цілих чисел Z із двома операціями додавання і множення. Оскільки множення цілих чисел є комутативною операцією, це комутативне кільце. Воно зазвичай позначається Z, що є скороченням німецького слова Zahlen (числа).
Поле це комутативне кільце, де і кожен не нульовий елемент a є інвертованим; тобто, має мультиплікативне обернене число b, таке що a ⋅ b = 1. Тому, за визначенням, будь-яке поле є комутативним кільцем. Раціональні, дійсні і комплексні числа утворюють поля.
Якщо R це дане комутативне кільце, тоді множина всіх поліномів для змінної X, коефіцієнти якого належать R утворюють кільце поліномів, що позначається як R[X]. Те саме буде виконуватися і для декількох змінних.
Якщо V це деякий Топологічний простір, наприклад підмножина деякої Rn, неперервні функції над V дійсних або комплексних змінних утворюють комутативне кільце. Те саме буде вірним і для диференційовних або голоморфні функції, коли обидва поняття визначені такими, що є комплексним многовидом для V.
Див. такожРедагувати
ДжерелаРедагувати
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707.(рос.)
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |
| В іншому мовному розділі є повніша стаття Commutative ring(англ.) |