Відкрити головне меню

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток геометричних векторів та обчислюється за формулою:

де та є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: = .

Два означення добутку векторів:

  • Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
  • Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини на довжину проекції на ).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів та позначають як . Можлива і скорочена форма запису: . Також можливе позначення , що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

Зміст

Визначення в евклідовому просторіРедагувати

Докладніше: Евклідів простір

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

     і    

в ортонормованому базисі  -вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

 
В загальному випадку:
  , де g - елемент Матриці Грама

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється таким чином:

 ,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому із співмножників треба транспонувати і помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторівРедагувати

Докладніше: Норма (математика)

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

 

Якщо простір евклідів, то:

 

Обчислення кутаРедагувати

В евклідовому просторі виконується наступна рівність:

 

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

 

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторівРедагувати

Для   векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів   визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

 

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як:

 

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

ВластивостіРедагувати

  • Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто  , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто  .
  • Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
  • Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.
  • В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A*, для якого виконується рівність:   для довільних x, y.[1]

Узагальнене визначенняРедагувати

Якщо   — лінійний простір над полем  , а   — комплексно спряжений до   то білінійне відображення  , або, при   відображення   називається скалярним добутком.[2]

  • Скалярний добуток в дійсному векторному просторі  , це симетричне додатньовизначене білінійне відображення  , тобто, для   та   виконуються такі умови:
    1. білінійність:
      •  
      •  
      •  
    2. симетричність:  
    3. додатньовизначеність:   та   якщо  
  • Скалярний добуток в комплексному векторному просторі  , це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення  , тобто, для   і   виконуються такі умови:
    1. півторалінійність:
      •  
      •  
      •  
    2. ермітовість:  
    3. додатньовизначеність:  , і   якщо  . (те, що   дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матрицьРедагувати

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. При цьому, вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

 

де знаком   позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

 

де знаком   позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця   визначає скалярний добуток:

 ;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця   визначає скалярний добуток:

 .

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит. 
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 

ЛітератураРедагувати