Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

(A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}

Визначення також може бути записане так:

A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}

де

A^{T}\!

— транспонування,

{\overline {A}}

— заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Позначення

Ермітове спряження матриці A позначається:

Якщо

A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}

тоді

A^{*}={\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}}

$\ ({A^{*}})^{*}=A$
$\ (rA)^{*}={\overline {r}}{A}^{*}$
$\ {(A+B)}^{*}={A}^{*}+{B}^{*}$
$\ {(AB)}^{*}={B}^{*}{A}^{*}$
$\ ({A^{*}})^{-1}=({A^{-1}})^{*}$
$\ \det {(A^{*})}=(\det {A})^{*}$
$\ \operatorname {tr} {(A^{*})}=(\operatorname {tr} {A})^{*}$
визначник, слід та власні значення $\ A^{*}$ комплексно-спряжені до відповідних значень $\ A$ .
Для довільної матриці $\ A,$ матриці $AA^{*}$ та $A^{*}A$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.