Тригонометри́чні фу́нкції — функції кута . Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів , диференційних рівнянь .
Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.
синус (sin α)
косинус (cos α)
тангенс (tg α = sin α / cos α)
котангенс (ctg α = cos α / sin α)
секанс (sec α = 1 / cos α)
косеканс (cosec α = 1 / sin α)
Геометричне визначення Редагувати
Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.
Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник . Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи :
cos
α
=
A
C
A
B
=
b
c
,
cos
β
=
B
C
A
B
=
a
c
.
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}},~~~\cos \beta ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}}~.}
Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
sin
α
=
B
C
A
B
=
a
c
,
sin
β
=
A
C
A
B
=
b
c
.
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}},~~~\sin \beta ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}}~.}
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
tg
α
=
B
C
A
C
=
a
b
,
tg
β
=
A
C
B
C
=
b
a
.
{\displaystyle {\mbox{tg}}~\alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}},~~~{\mbox{tg}}~\beta ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}}~.}
Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
ctg
α
=
A
C
B
C
=
b
a
,
ctg
β
=
B
C
A
C
=
a
b
.
{\displaystyle {\mbox{ctg}}~\alpha ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}},~~~{\mbox{ctg}}~\beta ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}}~.}
Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.
Один період функцій sin(x) та cos(x)
sin
x
{\displaystyle \sin \,x}
та
cos
x
{\displaystyle \cos \,x}
це періодичні функції із періодом
2
π
,
{\displaystyle \ 2\pi ,}
tg
x
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x}
та
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x}
мають період
π
.
{\displaystyle \ \pi .}
Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу із інтервалу
[
0
,
π
2
]
{\displaystyle [0,{\pi \over 2}]}
sin
x
=
cos
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \sin x=\cos \left({\pi \over 2}-x\right)}
cos
x
=
sin
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \cos x=\sin \left({\pi \over 2}-x\right)}
tg
x
=
ctg
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\pi \over 2}-x\right)}
ctg
x
=
tg
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\pi \over 2}-x\right)}
Основні співвідношення Редагувати
Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора :
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle ~\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
Теореми додавання та формули для кратних кутів Редагувати
Формули для функцій суми кутів Редагувати
Із основного співвідношення
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin {\left(\alpha +\beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
отримуємо
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
,
{\displaystyle \sin {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,}
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
,
{\displaystyle \cos {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,}
tg
(
α
±
β
)
=
tg
α
±
tg
β
1
∓
tg
α
tg
β
,
ctg
(
α
±
β
)
=
ctg
α
ctg
β
∓
1
ctg
β
±
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta } \over {1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }},~~~\operatorname {ctg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}
Формули для функцій подвійних кутів Редагувати
sin
2
α
=
2
sin
α
cos
α
{\displaystyle \sin {2\alpha }=2\sin \alpha \cos \alpha }
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
=
1
−
2
sin
2
α
{\displaystyle \cos {2\alpha }=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }
tg
2
α
=
2
tg
α
1
−
tg
2
α
,
ctg
2
α
=
ctg
2
α
−
1
2
ctg
α
=
1
2
(
ctg
α
−
tg
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} {2\alpha }={{2\operatorname {tg} \alpha } \over {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}~,~~~\operatorname {ctg} {2\alpha }={{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1} \over {2\operatorname {ctg} \alpha }}={1 \over 2}{\left(\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha \right)}}
Формули для функцій потрійних кутів Редагувати
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
,
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
{\displaystyle \sin {3\alpha }=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ~,~~~\cos {3\alpha }=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }
Формули для функцій половинних кутів Редагувати
sin
α
2
=
1
−
cos
α
2
,
cos
α
2
=
1
+
cos
α
2
{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={\sqrt {{1-\cos \alpha } \over 2}}~,~~~\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {{1+\cos \alpha } \over 2}}}
tg
α
2
=
sin
α
1
+
cos
α
=
1
−
cos
α
sin
α
,
ctg
α
2
=
sin
α
1
−
cos
α
=
1
+
cos
α
sin
α
{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1+\cos \alpha }}={{1-\cos \alpha } \over \sin \alpha }~,~~~\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1-\cos \alpha }}={{1+\cos \alpha } \over \sin \alpha }}
Формули для суми функцій кута Редагувати
a
sin
A
+
b
cos
B
=
r
sin
(
A
+
B
)
=
r
cos
(
π
2
−
A
−
B
)
,
r
=
a
2
+
b
2
,
t
g
B
=
b
a
{\displaystyle a\sin A+b\cos B=r\sin {\left(A+B\right)}=r\cos \left({\pi \over 2}-A-B\right),~{r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},~{tgB={b \over a}}}
sin
A
±
sin
B
=
2
sin
A
±
B
2
cos
A
∓
B
2
{\displaystyle \sin A\pm \sin B=2\sin {{A\pm B} \over 2}\cos {{A\mp B} \over 2}}
cos
A
+
cos
B
=
2
cos
A
+
B
2
cos
A
−
B
2
{\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {{A+B} \over 2}\cos {{A-B} \over 2}}
cos
A
−
cos
B
=
−
2
sin
A
+
B
2
sin
A
−
B
2
{\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {{A+B} \over 2}\sin {{A-B} \over 2}}
tg
A
±
tg
B
=
sin
A
±
B
cos
A
cos
B
,
ctg
A
±
ctg
B
=
sin
B
±
A
sin
A
sin
B
{\displaystyle \operatorname {tg} A\pm \operatorname {tg} B={\sin {A\pm B} \over {\cos A\cos B}}~,~~\operatorname {ctg} A\pm \operatorname {ctg} B={\sin {B\pm A} \over {\sin A\sin B}}}
Загальні формули для функцій кратних кутів Редагувати
Якщо n є цілим додатнім числом, то
sin
n
A
=
(
n
1
)
cos
n
−
1
A
sin
A
−
(
n
3
)
cos
n
−
3
A
sin
3
A
+
(
n
5
)
cos
n
−
5
A
sin
5
A
∓
⋯
{\displaystyle \sin {nA}={n \choose 1}\cos ^{n-1}A\sin A-{n \choose 3}\cos ^{n-3}A\sin ^{3}A+{n \choose 5}\cos ^{n-5}A\sin ^{5}A\mp \cdots }
cos
n
A
=
cos
n
A
−
(
n
2
)
cos
n
−
2
A
sin
2
A
+
(
n
4
)
cos
n
−
4
A
sin
4
A
∓
⋯
{\displaystyle \cos {nA}=\cos ^{n}A-{n \choose 2}\cos ^{n-2}A\sin ^{2}A+{n \choose 4}\cos ^{n-4}A\sin ^{4}A\mp \cdots }
Загальні формули для степенів функцій Редагувати
Якщо n є цілим непарним числом, то
sin
n
x
=
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
−
1
[
sin
n
x
−
(
n
1
)
sin
(
n
−
2
)
x
+
(
n
2
)
sin
(
n
−
4
)
x
−
(
n
3
)
sin
(
n
−
6
)
x
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
2
(
n
n
−
1
2
)
sin
x
]
{\displaystyle \sin ^{n}x={{(-1)^{{n-1} \over 2}} \over {2^{n-1}}}\left[\sin {nx}-{n \choose 1}\sin {(n-2)x}+{n \choose 2}\sin {(n-4)x}-{n \choose 3}\sin {(n-6)x}+\cdots +(-1)^{{n-1} \over 2}{n \choose {{n-1} \over 2}}\sin x\right]}
cos
n
x
=
(
1
2
)
n
−
1
[
cos
n
x
+
(
n
1
)
cos
(
n
−
2
)
x
+
(
n
2
)
cos
(
n
−
4
)
x
+
(
n
3
)
cos
(
n
−
6
)
x
+
⋯
+
(
n
n
−
1
2
)
cos
x
]
{\displaystyle \cos ^{n}x={\left({1 \over 2}\right)}^{n-1}\left[\cos {nx}+{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}+{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{n \choose {{n-1} \over 2}}\cos x\right]}
Якщо n є цілим парним числом, то
sin
n
x
=
(
−
1
)
n
2
2
n
−
1
[
cos
n
x
−
(
n
1
)
cos
(
n
−
2
)
x
+
(
n
2
)
cos
(
n
−
4
)
x
−
(
n
3
)
cos
(
n
−
6
)
x
+
⋯
+
(
−
1
)
n
−
2
2
(
n
n
−
2
2
)
cos
2
x
]
+
1
2
n
(
n
n
2
)
{\displaystyle \sin ^{n}x={{{\left(-1\right)}^{n \over 2}} \over {2^{n-1}}}\left[\cos {nx}-{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}-{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{\left(-1\right)}^{{n-2} \over 2}{n \choose {{n-2} \over 2}}\cos {2x}\right]+{1 \over 2^{n}}{n \choose {n \over 2}}}
cos
n
x
=
(
1
2
)
n
−
1
[
cos
n
x
+
(
n
1
)
cos
(
n
−
2
)
x
+
(
n
2
)
cos
(
n
−
4
)
x
+
(
n
3
)
cos
(
n
−
6
)
x
+
⋯
+
(
n
n
−
2
2
)
cos
2
x
]
+
1
2
n
(
n
n
2
)
{\displaystyle \cos ^{n}x={\left({1 \over 2}\right)}^{n-1}\left[\cos {nx}+{n \choose 1}\cos {(n-2)x}+{n \choose 2}\cos {(n-4)x}+{n \choose 3}\cos {(n-6)x}+\cdots +{n \choose {{n-2} \over 2}}\cos {2x}\right]+{1 \over 2^{n}}{n \choose {n \over 2}}}
Розклади в ряд Тейлора Редагувати
Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
tg
x
=
∑
n
=
0
∞
U
2
n
+
1
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
17
x
7
315
+
⋯
,
при
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
де
U n n -те перетворення Бустрофедона ,
B n числа Бернуллі , та
E n числа Ейлера .
cosec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
1
x
+
x
6
+
7
x
3
360
+
31
x
5
15120
+
⋯
,
при
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
U
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
⋯
,
при
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
ctg
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
⋯
,
при
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ,\qquad {\text{при }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}
Зв'язок з експонентою та комплексними числами Редагувати
Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin та cos є уявною та дійсною частинами
експоненти чисто уявного числа:
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
.
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,}
Це співвідношення називається формулою Ейлера .
Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z :
sin
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
=
−
i
sh
(
i
z
)
,
{\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{iz}-e^{-iz} \over 2i}=-i\operatorname {sh} \left(iz\right),}
cos
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
z
2
n
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
=
ch
(
i
z
)
{\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{iz}+e^{-iz} \over 2}=\operatorname {ch} \left(iz\right)}
де i 2 = −1, а
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} x}
та
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} x}
— відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x мають місце співвідношення
cos
x
=
Re
(
e
i
x
)
,
sin
x
=
Im
(
e
i
x
)
{\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})~,~~~~\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})}
Диференціювання та інтегрування Редагувати
f
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f(x)}
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,dx}
sin
x
{\displaystyle \,\ \sin x}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \,\ -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle \,\ -\sin x}
sin
x
+
C
{\displaystyle \,\ \sin x+C}
tg
x
{\displaystyle \,\ \operatorname {tg} x}
sec
2
x
{\displaystyle \,\ \sec ^{2}x}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
ctg
x
{\displaystyle \,\ \operatorname {ctg} x}
−
cosec
2
x
{\displaystyle \,\ -\operatorname {cosec} ^{2}x}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec
x
{\displaystyle \,\ \sec x}
sec
x
tg
x
{\displaystyle \,\ \sec {x}\operatorname {tg} {x}}
ln
|
sec
x
+
tg
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sec x+\operatorname {tg} x\right|+C}
cosec
x
{\displaystyle \,\ \operatorname {cosec} x}
−
cosec
x
ctg
x
{\displaystyle \,\ -\operatorname {cosec} {x}\operatorname {ctg} {x}}
−
ln
|
cosec
x
+
ctg
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x\right|+C}
Зв'язок з диференціальним рівнянням Редагувати
Властивості і застосування Редагувати
Теорема синусів стверджує, що для довільного трикутника із сторонами a , b , і c та кутами, що протилежні тим сторонам A , B і C :
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
=
2
Δ
a
b
c
,
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}
де Δ це площа трикутника,
або, еквівалентно,
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
де R це радіус кола, що описує трикутник .
Фігура Ліссажу , фігура утворена функції основаній на тригонометричних функціях.
Це можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутника, і використовуючи визначення синуса. Теорема синусів корисна для розрахунку довжин невідомих сторін трикутника, при відомих двох кутах і довжині однієї з його сторін. Ця ситуація є типовою для задачі триангуляції , техніки визначення невідомих відстаней шляхом вимірювання двох кутів із двох точок на доступній відомій відстані.
Теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора :
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}
або еквівалентно,
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
.
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}
В цій формулі кут C є протилежним до сторони c . Цю теорему можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутника і застосувавши теорему Піфагора.
Теорему косинусів можна застосувати для визначення сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін і кут між ними. Також її можна застосувати для визначення косинуса кута (і відповідно значення самого кута) якщо відомі довжини всіх сторін трикутника.
Всі наступні вирази формулюють теорему тангенсів[1]
tan
A
−
B
2
tan
A
+
B
2
=
a
−
b
a
+
b
;
tan
A
−
C
2
tan
A
+
C
2
=
a
−
c
a
+
c
;
tan
B
−
C
2
tan
B
+
C
2
=
b
−
c
b
+
c
{\displaystyle {\frac {\tan {\dfrac {A-B}{2}}}{\tan {\dfrac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}\,;\qquad {\frac {\tan {\dfrac {A-C}{2}}}{\tan {\dfrac {A+C}{2}}}}={\frac {a-c}{a+c}}\,;\qquad {\frac {\tan {\dfrac {B-C}{2}}}{\tan {\dfrac {B+C}{2}}}}={\frac {b-c}{b+c}}}
Пояснення цих формул на словах було б громіздким, але закономірності сум і різниць для довжин сторін і відповідних протилежних кутів видно із теореми.
Якщо
ζ
=
1
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}\ }
(радіус вписаного кола в трикутник)і
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}\ }
(напів-периметр трикутника),тоді всі наступні формули описують теорему котангенсів[1]
cot
A
2
=
s
−
a
ζ
;
cot
B
2
=
s
−
b
ζ
;
cot
C
2
=
s
−
c
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}\,;\qquad \cot {\frac {B}{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}\,;\qquad \cot {\frac {C}{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}
З відси випливає, що
cot
A
2
s
−
a
=
cot
B
2
s
−
b
=
cot
C
2
s
−
c
.
{\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}.}
На словах теорема полягає в тому, що котангенс половинного кута дорівнює відношенню напів-периметра від якого віднято сторону протилежну заданому куту, до радіуса вписаного кола.
Синусоїдальні базисні функції (знизу) можуть сформувати пилоподібну хвилю (зверху), якщо їх додати між собою. Всі базові функцію матимуть вузли, що співпадають із вузлами пилоподібної хвилі, і всі крім основної (
k = 1) матимуть додаткові вузли. Коливання, які відбуваються біля краю зубця при великих значеннях
k називаються
явищем Гіббса [en]
Тригонометричні функції також мають важливе застосування у фізиці. Функції синуса і косинуса, наприклад, використовують для описання гармонічних коливань , які моделюють багато природних явищ, такі як рух маси закріпленої на пружині, і для малих кутів, рух маятника для маси що висить на нитці. Функції синуси і косинуса є одновимірними проекціями рівномірного кругового руху [en] .
Тригонометричні функції також довели свою користь при вивченні загальних періодичних функцій . Характерна хвильова структура періодичних функцій корисна для моделювання явищ, таких як звукові або світлові хвилі .[2]
В загальних умовах, періодичну функцію f (x ) можна виразити у вигляді суми синусних або косинусних хвиль за допомогою Ряду Фур'є .[3] Позначивши синусні або косинусні базисні функції [en] як φk , розкладання періодичної функції f (t ) буде мати наступну форму:
f
(
t
)
=
∑
k
=
1
∞
c
k
φ
k
(
t
)
.
{\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}
Наприклад, квадратну хвилю (меандр) можна записати у вигляді ряду Фур'є
f
square
(
t
)
=
4
π
∑
k
=
1
∞
sin
(
(
2
k
−
1
)
t
)
2
k
−
1
.
{\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}
В анімації квадратної хвилі праворуч можна побачити, що лише декілька термів вже досить аби створити добру апроксимацію квадратної форми хвилі. Суперпозицію декількох термів в розкладанні пилоподібної хвилі [en] можна побачити знизу під тим малюнком.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973, — 832 с.