Відкрити головне меню
Circumscribed Polygon.svg

Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.

ТрикутникРедагувати

 
Коло, описане довкола трикутника
  • У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, у прямокутного - на середині гіпотенузи.

Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.

  • 3 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
  • Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника - це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
  • Відстань від вершини трикутника до ортоцентру вдвічі більше, ніж відстань від центру описаного кола до протилежної сторони.
  • Радіус описаного кола можна знайти за формулами:
 
 
 
Де:
  — сторони трикутника,
  — кут, що лежить навпроти сторони  ,
  — півпериметр трикутника.
  — площа трикутника.
  • Положення центру описаного кола.

Нехай   радіус-вектори вершин трикутника,   — радіус-вектор центру описаного кола. Тоді

 

де

 
  • Рівняння описаного кола.

Нехай  координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині,   — координати центру описаного кола. Тоді

 

а рівняння описаного кола має вигляд

 

Для точок  , що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею - позитивний.


  • Теорема про тризубець : Якщо   - точка перетину бісектриси кута   з описаним колом, а   - центр вписаного кола то  .
  • Формула Ейлера : Якщо   - відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють   і   відповідно, то  .

ЧотирикутникРедагувати

 
Малюнок до теореми Птолемея

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Радіус описаного кола правильного  -кутника з довжиною сторін   дорівнює:

 

Можна описати коло навколо:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|


МногокутникРедагувати

Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.

ПриміткиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. — ISBN 5-94057-170-0
  • Л.Е. Гендельштейн, А.П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 - ISBN 966-562-080-0.

ПосиланняРедагувати