Відкрити головне меню
Геометрична інтерпретація формули Ейлера

Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа виконується рівність:

,

де основа натурального логарифма,

уявна одиниця.

Формула залишається правильною також для комплексного аргументу .

Відома тотожність Ейлера, що пов'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

є частковим випадком формули Ейлера при .

Зміст

ІсторіяРедагувати

Формула Ейлера вперше була доведена Роджером Котсом у 1714 році в логарифмічній формі:

 .

Ейлер опублікував формулу у її звичному вигляді в 1748 році, збудував доведення за допомогою розкладу правої та лівої частини у степеневі ряди. Ані Ейлер, ані Котс не уявляли собі геометричної інтерпретації формули: представлення комплексних чисел як точок на комплексній площині з'явилося приблизно на 50 років пізніше.

Похідні формулиРедагувати

За допомогою формули Ейлера можна представити функції sin та cos у вигляді:

 ,
 .

Можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної, які добре відомі під назвою гіперболічні функції. Підставляючи  , отримуємо:

 ,
 .

Застосування в комплексному аналізіРедагувати

Завдяки формулі Ейлера з'явились так звані тригонометрична та показникова форма запису комплексного числа:  .

Наступним важливим наслідком є формули піднесення комплексного числа до довільної степені:

 ,  .

Остання формула має просту геометричну інтерпретацію: при піднесенні числа   до степені   його відстань від початку системи координат підноситься до степені  , а кут повороту від осі   збільшується в   раз.

Формула правильна не лише для цілих  , але й для дійсних його значень. Зокрема, комплексна форма запису числа дозволяє знаходити корені довільної степені з комплексних чисел, що використовується в доведенні основної теореми алгебри: «Многочлен степені   має рівно   комплексних коренів».

ДоведенняРедагувати

Доведення формули Ейлера є достатньо простим. Розклавши функцію   у ряд Тейлора за степенями   отримуємо:

 

Оскільки

 ,
 ,

то

 

Q.E.D.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.