Теорема косинусів

Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Теорема косинусівРедагувати

У тригонометрії закон косинусів (також відомий як формула косинуса, правило косинусу або теорема Аль-Каші) пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Нехай   сторони трикутника  , а   це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

 ;
 ;
 .
 
Позначення кутів і сторін трикутника

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.[1]

Із теореми косинусів: Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

 ;

 ;

 .

Якщо   

Твердження   означає, що   є прямим кутом, оскільки   додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Наслідки з теореми косинусівРедагувати

За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Якщо для довільного трикутника порівнювати квадрат сторони з сумою квадратів двох інших сторін, то, як зрозуміло з теореми косинусів, що буде більше залежить від того чи буде кут між цими сторонами гострим чи тупим. А саме, якщо квадрат сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим:

  або  , то   — гострий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим:

 
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін

  або  , то   — тупий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим:

  або  , то   — прямий.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Для паралелограма   можна записати рівність:

 [2].

Доведення (для гострого кута)Редагувати

 
Трикутник

Нехай   це сторони трикутника  , а A, B і C - це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B, що утворює прямий кут із протилежною стороною b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді   звідки  

Це означає, що довжина цього відрізку   Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна   Решта довжини b рівна   Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами     і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  •  
  •  
  •  
  •   завжди 1, отже
  •  

Доведення теореми косинусів з використанням векторівРедагувати

 
Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

  •   звідси
  •  

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

  •  

ІсторіяРедагувати

Теорема косинусів була доведена геометрично в «Началах» Евкліда. «Начала» відіграли важливу роль у розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики. Стихії Евкліда проклали шлях до відкриття закону косинусів. У XV столітті перський математик і астроном Джамшид аль-Каші подав перше явне твердження закону косинусів у формі, придатній для тріангуляції. Він надав точні тригонометричні таблиці та висловив теорему у формі, придатній для сучасного використання. Теорема косинусів була вперше сформульована і набула популярності у західному світі французьким математиком Франсуа Вієтом в XVI столітті. На початку XIX століття її стали записувати як теорему косинусів у її нинішній символічній формі.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Геометрія (Мерзляк) 9 клас 2017. Шкільні підручники онлайн (укр.). Архів оригіналу за 29 грудня 2019. Процитовано 29 грудня 2019. 
  2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся ОНЛАЙН. edu-lib.com (рос.). Процитовано 29 грудня 2019. 

ПосиланняРедагувати