Теорема синусів

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}$

Ця формула корисна при обчисленні решти двох сторін трикутника якщо відомі сторона та два прилеглі кути, типова проблема що постає при тріангуляції. Також, якщо відомі дві сторони та один із кутів що не утворюється цими сторонами, ця формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у вигляді

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=D=2R$

Доведення

Нехай дано трикутник із сторонами a, b, і c, з протилежними кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c .

Бачимо, що, за означенням:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ та $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Звідси:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

також

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}$

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Див. також

• Тріангуляція
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів