Теорема синусів

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}$

Ця формула корисна при обчисленні решти двох сторін трикутника, якщо відомі сторона та два прилеглі кути; типова проблема, що постає при тріангуляції. Також, якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами, зазначена формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у розширеній формі

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=D=2R$

Доведення

Нехай дано трикутник зі сторонами a, b, і c, з протилежними до них кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c.

Бачимо, що, за означенням:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ та $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Звідси:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

також

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}$

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$.∎

Доведення розширеної форми теореми синусів

Достатньо довести, що

${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.$

Проведемо діаметр $|BG|$ описаного кола. За властивістю кутів, уписаних у коло, кут $GCB$ прямий, а кут $CGB$ дорівнює або $\alpha$, якщо точки $A$ і $G$ лежать по один бік від прямої $BC$, або $\pi -\alpha$ в іншому разі. Оскільки $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$, в обох випадках маємо

$a=2R\sin \alpha$.

Повторивши ці міркування для двох інших сторін трикутника, маємо:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.$ ∎

Доведення через формули знаходження площі трикутника  

Візьмемо дві формули для знаходження площі трикутника $S={\frac {abc}{4R}}$ і $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$ ∎

Варіації та узагальнення

• У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.
• У симплексі

$V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},$

де $A_{i,j}$ — кут між гранями $V_{n-1}^{i}$ і $V_{n-1}^{j}$; $V_{n-2}^{i,j}$ — спільна грань $V_{n-1}^{i}$ і $V_{n-1}^{j}$; $V_{n}$ — об'єм симплекса.

Історія

• У першій главі Альмагеста (бл. 140 року н. е.) теорему синусів використано, але явно не сформульовано.
• Найдавніше з доведень, що дійшли до нас, теореми синусів на площині описано в книзі Насир ад-Діна ат-Тусі «Трактат про повний чотирибічник» написаній у XIII столітті.
• Теорему синусів для сферичного трикутника довели математики середньовічного Сходу ще в X столітті. У праці аль-Джайяні XI століття «Книга про невідомі дуги сфери» наводилось загальне доведення теореми синусів на сфері.

Див. також

• Тріангуляція
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів

Посилання

• Синусів теорема // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.