Теорема синусів

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}$

Ця формула корисна при обчисленні решти двох сторін трикутника, якщо відомі сторона та два прилеглі кути; типова проблема, що постає при тріангуляції. Також, якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами, зазначена формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у вигляді

${a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=D=2R$

Доведення

Нехай дано трикутник із сторонами a, b, і c, з протилежними кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c .

Бачимо, що, за означенням:

$\sin A={\frac {h}{b}}$ та $\;\sin B={\frac {h}{a}}$

Звідси:

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

також

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}$

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

Див. також

• Тріангуляція
• Теорема косинусів
• Теорема тангенсів