Гіперболічний трикутник

трикутник на гіперболічній площині

У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині. Він складається з трьох відрізків, які називаються сторонами або ребрами, і трьох точок, званих кутами або вершинами.

Гіперболічний трикутник на сідлоподібній поверхні

Як і в евклідовому випадку, три точки гіперболічного простору довільної розмірності завжди лежать в одній площині. Отже, планарні гіперболічні трикутники також описують трикутники, можливі в будь-яких гіперболічних просторах високої розмірності.

Трикутна мозаїка 7-го порядку[en] має рівносторонні трикутники зі внутрішнім кутом 2π/7 радіан.

ВизначенняРедагувати

Гіперболічний трикутник складається з трьох неколінеарних точок і трьох відрізків між ними[1].

ВластивостіРедагувати

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у евклідовій геометрії:

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

  • Два трикутника з однаковою сумою кутів рівні за площею.
  • Існує верхня межа площі трикутників.
  • Існує верхня межа радіуса вписаного кола.
  • Два трикутники конгруентні тоді й лише тоді, коли вони переходять один в інший внаслідок скінченного числа відбиттів відносно прямої.
  • Два трикутники з рівними відповідними кутами конгруентні (тобто всі подібні трикутники конгруентні).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, які протилежні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

  • Сума кутів трикутника менша від 180°.
  • Площа трикутника пропорційна дефіциту його суми кутів (до 180°).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, яких немає в інших геометріях:

Трикутники з ідеальними вершинамиРедагувати

 
Три ідеальних трикутники в дисковій моделі Пуанкаре

Визначення трикутника можна узагальнити, якщо дозволити вершинам лежати на ідеальній межі гіперплощини, при цьому сторони повинні лежати всередині площини. Якщо пара сторін є асимптотично паралельними (тобто відстань між ними прямує до нуля при прямуванні до ідеальної точки, але вони не перетинаються), то вони закінчуються в ідеальній вершині, представленій омега-точкою.

Кажуть, що така пара сторін утворює нульовий кут.

Трикутник з нульовим кутом неможливий в евклідовій геометрії для прямолінійних сторін, що лежать на різних прямих. Однак такі нульові кути можливі для дотичних кіл[en].

Трикутник з однією ідеальною вершиною називається омега-трикутником.

Особливі види трикутників з ідеальними вершинами:

Трикутник паралельностіРедагувати

Трикутник, у якому одна вершина є ідеальною точкою, один кут прямий — третій кут є кутом паралельності для сторони між прямим кутом і третім кутом.

Трикутник ШвайкертаРедагувати

Трикутник, у якому дві вершини є ідеальними точками, а третій кут є прямим. Це один з перших гіперболічних трикутників (1818), який описав Фердинанд Карл Швайкерт.

Ідеальний трикутникРедагувати

Трикутник, у якому всі вершини є ідеальними точками. Такий трикутник є найбільшим з можливих трикутників у геометрії Лобачевського, оскільки має нульову суму кутів.

Стандартизована кривина ГаусаРедагувати

Зв'язки між кутами і сторонами аналогічні зв'язкам між такими ж об'єктами в сферичній тригонометрії. Масштаб довжини для сферичної геометрії та геометрії Лобачевського можна, наприклад, визначити як довжину сторони рівностороннього трикутника з фіксованими кутами.

Масштаб довжини найзручніший, якщо довжини вимірюються в термінах абсолютної довжини (спеціальної одиниці довжини, аналогічної відношенню між відстанями в сферичній геометрії). Вибір масштабу довжини робить формули простішими[4].

У термінах моделі Пуанкаре у верхній півплощині абсолютна довжина відповідає інфінітезимальній метриці  , а в дисковій моделі Пуанкаре відповідає  

У термінах (сталої негативної) кривини Гауса K гіперболічної площини одиниця абсолютної довжини відповідає довжині

 

У гіперболічномму трикутнику сума кутів A, B, C (відповідних протилежним сторонам з тими ж буквами) строго менша від розгорнутого кута. Різниця між мірою розгорнутого кута і сумою мір кутів трикутника називається дефектом трикутника. Площа гіперболічного трикутника дорівнює його дефекту, помноженому на квадрат R:

 

Ця теорема, вперше доведена Йоганном Генріхом Ламбертом[5], пов'язана з теоремою Жирара у сферичній геометрії.

ТригонометріяРедагувати

У всіх формулах нижче сторони a, b і c мають бути виміряні за абсолютною довжиною, одиниці, такій, що кривина Гауса K поверхні дорівнює −1. Іншими словами, величину R слід прийняти рівною 1.

Тригонометричні формули для гіперболічних трикутників залежать від гіперболічних функцій sh, ch і th.

Тригонометрія прямокутних трикутниківРедагувати

Якщо C позначає прямий кут, то:

  • Синус кута A дорівнює гіперболічному синусу протилежної до кута сторони A, поділеному на гіперболічний синус гіпотенузи c.
 
  • Косинус кута A дорівнює гіперболічному тангенсу прилеглого катета b, поділеному на гіперболічний тангенс гіпотенузи c.
 
  • Тангенс кута A дорівнює гіперболічному тангенсу протилежного катета a, поділеного на гіперболічний синус прилеглого катета b.
 
  • Гіперболічний косинус прилеглого катета b кута A дорівнює косинусу кута B, поділеному на синус кута A.
 
  • Гіперболічний косинус гіпотенузи c дорівнює добутку гіперболічних косинусів катетів a і b.
 
  • Гіперболічний косинус гіпотенузи H дорівнює добутку косинусів кутів, поділеному на твір їх синусів[6].
 

Відношення між кутамиРедагувати

Виконуються такі співвідношення[7]:

 
 
 
 
 

ПлощаРедагувати

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

Площа  

а також

 [8].

Кут паралельностіРедагувати

Примірник омега-трикутника з прямим кутом дає конфігурацію для перевірки кута паралельності в трикутнику.

У випадку, коли кут B = 0, a = c =   і  , отримуємо   (b = прилеглий катет).

Рівносторонній трикутникРедагувати

Тригонометричні формули для прямокутних трикутників дають також відношення між сторонами s і кутами A рівностороннього трикутника (трикутника, у якого всі сторони мають однакову довжину і всі кути рівні):

 

 

Загальна тригонометріяРедагувати

Незалежно від того, є C прямим кутом чи ні, виконуються такі співвідношення:

Гіперболічний закон косинусів[en]:

 

Двоїста закону теорема

 

Існує також закон синусів:

 

і чотиричленна формула:

 

Див. такожРедагувати

Для гіперболічної тригонометрії:

ПриміткиРедагувати

  1. Stothers, 2000.
  2. Атанасян Л. С. Окружность // Геометрия Лобачевского / под ред. М. С. Стригуновой. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — С. 125—126. — ISBN 978-5-9963-2364-7.
  3. Атанасян Л. С. Замечательные точки и прямые треугольника // Геометрия Лобачевского / под ред. М. С. Стригуновой. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — С. 166—167. — ISBN 978-5-9963-2364-7.
  4. Needham, 1998, с. 270.
  5. Ratcliffe, 2006, с. 99.
  6. Martin, 1998, с. 433.
  7. Smogorzhevski, 1982, с. 63.
  8. Mathematics stackexchange, 2015.

ЛітератураРедагувати

Література для подальшого читанняРедагувати