Відкрити головне меню
Сідлова точка функції

Сідлова́ то́чка — один із типів стаціонарних точок функції багатьох змінних, в якому перші похідні функції дорівнюють нулю, але матриця других похідних не є додатно визначеною, а також один із типів стаціонарних точок дисипативних систем.

Екстремум функції багатьох зміннихРедагувати

Для функції багатьох змінних   екстремуми визначаються із системи рівнянь

 , де  .

В малому околі поблизу екстремуму  , функцію можна подати у вигляді білінійної форми

 .

Якщо матриця коефіцієнтів розкладу додатно визначена, то функція має в точці   мінімум. Якщо матриця коефіцієнтів, взятих із оберненими знаками, додатно визначена, то функція має в цій точці максимум. Якщо ж обидві матриці не є додатно визначеними, то існує певний напрям в багатовимірному просторі, в якому функція зменшується, й існує певний напрям, в якому вона збільшується. Такий екстремум називається сідловою точкою. Приклад наведений на рисунку праворуч.

Простим критерієм перевірки того чи є стаціонарна точка функції двох дійсних змінних F(x,y) сідловою є необхідність того що матриця Гессе у цій точці є невизначеною. Наприклад, матриця Гессе для функції   у стаціонарній точці  

 

є неозначеною. Звідси, точка   є сідловою для даної системи. Цей критерій дає лише достатню умову. Наприклад, точка   є сідловою для функції  , однак матриця Гессе для цієї функції у даній точці є нульовою матрицею, яка не є невизначеною.

Стаціонарна точкаРедагувати

Для дисипативної системи, яка описується кінетичними рівняннями

 ,

стаціонарна точка (точка рівноваги) визначається з системи рівнянь

 ,

а її стабільність визначається тим, чи матриця   додатньо визначена. Задача аналогічна аналізу екстремуму функції багатьох змінних. Сідлові точки в синергетиці, яка вивчає дисипативні системи, відповідають нестійким стаціонарним станам: вузлам і фокусам.

Аналіз стаціонарних точок дисипативних систем стає зовсім аналогічним аналізу точки екстремуму, якщо існує така функція   (потенціал), що

 .

У загальному випадку це не так.

Дивіться такожРедагувати