Сідлова́ то́чка у математиці або точка мінімакса[1] — це точка на поверхні графіка функції, де всі нахили (похідні) в ортогональних напрямках дорівнюють нулю (тобто, є критичною точкою), але яка не є локальним екстремумом функції[2]. Прикладом сідлової точки є критична точка з відносним мінімумом вздовж одного осьового напрямку (між піками) і відносним максимумом вздовж іншої осі. Однак, сідлова точка не обов'язково має бути в такому вигляді. Наприклад, функція має критичну точку в  — це сідлова точка, оскільки вона не є ні відносним максимумом, ні відносним мінімумом, але вона не має відносного максимуму чи відносного мінімуму в напрямку вісі .

Сідлова точка (позначена червоним кольором) на графіку гіперболічного параболоїду z = x2 − y2
Сідлова точка між двома пагорбами (перетин вісімки на -контурі)

Назва походить від того факту, що прототипний приклад у двох вимірах є поверхнею, яка вигинається вгору в одному напрямку і вигинається вниз в іншому напрямку, нагадуючи сідло для верхової їзди або гірський перевал між двома вершинами, що утворюють сідло рельєфу. З точки зору ліній контуру, сідлова точка в двох вимірах створює контурний графік або трасу, на якій контур, що відповідає значенню сідлової точки, здається, перетинає сам себе.

Сідлова точка на контурному графіку — це точка, де перетинаються криві рівня

ВизначенняРедагувати

Простим критерієм для перевірки того, чи є дана стаціонарна точка дійсної функції F(x, y) двох дійсних змінних сідловою точкою, є обчислення матриці Геса функції в цій точці: якщо гесіан невизначений, то ця точка є сідловою. Наприклад, матриця Гесе функції   у стаціонарній точці   є матрицею

 

яка є невизначеною. Тому ця точка є сідловою. Цей критерій дає лише достатню умову. Наприклад, точка   є сідловою точкою для функції   але матриця Гесе цієї функції в початку координат є нульовою матрицею, яка не є невизначеною.

У найзагальніших термінах сідлова точка для гладкої функції (графіком якої є крива, поверхня або гіперповерхня) є стаціонарною точкою, такою, що крива/поверхня/і т. д. в околі цієї точки не знаходиться повністю по один бік від дотичного простору в цій точці.

 
Графік у = x3 з сідловою точкою x = 0

В одновимірному просторі сідловою точкою є точка, яка одночасно є стаціонарною точкою і точкою перегину. Оскільки, це точка перегину, то вона не буде локальним екстремумом.

Сідлова поверхняРедагувати

 
Модель однопорожнинного еліптичного гіперболоїда

Сідлова поверхня — це гладка поверхня, що містить одну або кілька сідлових точок.

Класичними прикладами двовимірних сідлових поверхонь в евклідовому просторі є поверхні другого порядку, гіперболічний параболоїд   (який часто називають «поверхнею сідла» або «стандартною сідловою поверхнею») і однопорожнинний гіперболоїд. Картопляні чіпси Pringles[en] є прикладом гіперболічної параболоїдної форми, який можна зустріти у повсякденному житті.

Сідлові поверхні мають від'ємну гаусову кривину, що відрізняє їх від опуклих/еліптичних поверхонь, які мають додатню гаусову кривину. Класичною поверхнею сідла третього порядку є мавпяче сідло[en][3].

ПрикладиРедагувати

У грі з нульовою сумою для двох гравців, визначеній на неперервному просторі, точка рівноваги є сідловою точкою.

Для лінійної автономної системи другого порядку критична точка є сідловою точкою, якщо характеристичне рівняння (диференціальні рівняння)[en] має одне додатне та одне від'ємне дійсне власне значення[4].

При оптимізації з урахуванням обмежень рівності умови першого порядку описують сідлову точку лагранжіана.

Інше використанняРедагувати

У динамічних системах, якщо динаміка задається диференційовною функцією f, точка є гіперболічною тоді й тільки тоді, коли диференціал ƒn (де n — період точки) не має власного значення на (комплексному) одиничному колі при обчисленні у точці. Тоді сідловою точкою є гіперболічна періодична точка[en], для якої стійкі та нестійкі многовиди[en] мають розмірність, яка не дорівнює нулю.

Сідловою точкою матриці є елемент, який одночасно є найбільшим елементом у своєму стовпці і найменшим елементом у своєму рядку.

Дисипативні системиРедагувати

Для дисипативної системи, яка описується кінетичними рівняннями

 ,

стаціонарна точка (точка рівноваги) визначається з системи рівнянь

 ,

а її стабільність визначається тим, чи матриця   додатньо визначена. Задача аналогічна аналізу екстремуму функції багатьох змінних. Сідлові точки в синергетиці, яка вивчає дисипативні системи, відповідають нестійким стаціонарним станам: вузлам і фокусам.

Аналіз стаціонарних точок дисипативних систем стає зовсім аналогічним аналізу точки екстремуму, якщо існує така функція   (потенціал), що

 .

У загальному випадку це не так.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis (2002): Calculus, Multivariable Version, p. 844.
  2. Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 312. ISBN 0-07-010813-7. 
  3. Buck, R. Creighton (2003). Advanced Calculus (вид. 3rd). Long Grove, IL: Waveland Press. с. 160. ISBN 1-57766-302-0. 
  4. (von Petersdorff, 2006)

ПосиланняРедагувати