Графік функції

Множина пар (x,f(x)), де x належить області визначення функції f

Графік функціїдіаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графік кубічного полінома

Графіком функції називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари (x, y), для яких f(x)=y.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами x=0 і y=0 називається початком координат.

Графіки елементарних функційРедагувати

  1. Пряма пропорційність  
  2. Лінійна функція  
  3. Обернена пропорційність  
  4. Квадратична функція  ,  

Побудова графіка функціїРедагувати

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

  1. з'ясування області визначення функції;
  2. вирішується питання про парності або непарності функції;
  3. досліджується періодичність функції;
  4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
  5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
  6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
  7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
  8. відшукання асимптоти кривої;
  9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функціїРедагувати

Провести дослідження функції    та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок   та  .

2) Функція непарна, тому що виконується умова  , а саме,  , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для  .

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці   , причому   ,  . Пряма   – вертикальна асимптота.

6) Знаходимо   і прирівнюємо її до нуля:  , звідки  ,  ,  . На екстремум треба досліджувати тільки точку   (точку   не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку  .

В околі точки   має:   при   та   при   , отже, в точці   функція має максимум,  .

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо  . Бачимо, що   лише при  , при цьому   при   та   при  , отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак   і близько точок розриву функції. У даному випадку   на проміжку   i   на  , отже, на   крива ввігнута і опукла на  .

8) з'ясуємо питання про асимптоту.

Наявність вертикальної асимптоти   встановлено вище. Шукаємо горизонтальні:   , отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:  ,  , виходячи з цього,   – нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення:

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати