Многочлен

(Перенаправлено з Поліном)

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

Многочлен
Зображення
Формула
Позначення у формулі , і
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Многочлен у Вікісховищі
Графік поліноміальної функції 3-го степеня
Y = ,

де є сталими коефіцієнтами (константами), а  — змінна.

Наприклад, , та , є многочленами, але та не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних (багатовимірним многочленом) називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

.

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни ред.

В многочлені   доданки   називаються його членами. Якщо  , то   називається старшим членом, а його степінь   степенем многочлена. Степінь многочлена   позначається  . Член нульового степеня   називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен   (інколи пишуть  , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності,  .

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад,   — кубічний тричлен з членами  ,   і  , причому   — це старший член, а   — вільний член.

Операції над многочленами ред.

  • Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
 
  • Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
 
  • Многочлени можна ділити з остачею: якщо   — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен   можна представити у вигляді
 ,

де   і   — многочлени, причому  .

Корінь многочлена ред.

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної  . Число   називається коренем многочлена  , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо  . Це рівносильно умові «Многочлен   ділиться на двочлен   без остачі» (див. теорему Безу). Якщо   ділиться на   без остачі, то корінь   називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число  , для якого   ділиться на   без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники ред.

Якщо неконстантний многочлен   можна представити у вигляді  , де   і   — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що   розкладено на нетривіальні множники  ,  . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

 ,   і  ,

то

  і  .

Якщо якийсь з множників  ,   можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення   у вигляді

 ,

де многочлени   є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри ред.

Комплексний многочлен степеня   має рівно   комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на   лінійних множників:

 

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Узагальнений многочлен ред.

Нехай   — задана на   система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

 

де   — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).

Приклади
  •  , многочлен
  •  , тригонометричний многочлен
  •  , де   функції Бесселя

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
  • Розклад матричних многочленів на множники: монографія / П. С. Казімірський ; [відп. ред. Д. О. Супруненко] ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. — 2-ге вид., виправл. — Львів: ІППММ, 2015. — 282 с. : 1 арк. портр. — Бібліогр.: с. 274—280 (79 назв). — ISBN 978-966-02-7655-0
  • Многочлен // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
  • Бурбаки Н. Алгебра ч.2 Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 300. — (Елементи математики)(рос.)
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)