Многочлен

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

Графік поліноміальної функції 3-го степеня

$\ c_{0}+c_{1}x+\ldots +c_{n}x^{n}$,

де $c_{i}$ є сталими коефіцієнтами (константами), а $x$ — змінна.

Наприклад, $12+3.1x+2x^{6}$, та $1+x+x^{2}+x^{3}$, є многочленами, але ${1 \over x^{2}+1}$ та ${\sqrt {x^{2}+1}}$ не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

$c_{0}+c_{1}xy^{2}+c_{2}z^{3}+c_{3}xyz+\ldots$,

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни

В многочлені $c_{0}+c_{1}x+\ldots +c_{n}x^{n}$ доданки $c_{i}x^{i}$ називаються його членами. Якщо $c_{n}\neq 0$, то $c_{n}x^{n}$ називається старшим членом, а його степінь $n$ степенем многочлена. Степінь многочлена $f(x)$ позначається $\deg(f)$. Член нульового степеня $c_{0}$ називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен $f(x)=0$ (інколи пишуть $f(x)\equiv 0$, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, $-\infty$.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад, $x^{3}+2x+5$ — кубічний тричлен з членами $x^{3}$, $2x$ і $5$, причому $x^{3}$ — це старший член, а $5$ — вільний член.

Операції над многочленами

• Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\max\{n,m\}}(a_{i}+b_{i})x^{i}$

• Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}$

• Многочлени можна ділити з остачею: якщо $g(x)$ — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді

$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$,

де $q(x)$ і $r(x)$ — многочлени, причому $\deg(r)<\deg(g)$.

Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної $x$. Число $a$ називається коренем многочлена $f(x)$, якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо $f(a)=0$. Це рівносильно умові «Многочлен $f(x)$ ділиться на двочлен $x-a$ без остачі» (див. теорему Безу). Якщо $f(x)$ ділиться на $(x-a)^{2}$ без остачі, то корінь $a$ називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число $k$, для якого $f(x)$ ділиться на $(x-a)^{k}$ без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники

Якщо неконстантний многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді $f(x)=g(x)h(x)$, де $g(x)$ і $h(x)$ — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що $f(x)$ розкладено на нетривіальні множники $g(x)$, $h(x)$. Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

$\deg(f)=\deg(g)+\deg(h)$, $\deg(g)>0$ і $\deg(h)>0$,

то

$\deg(g)<\deg(f)$ і $\deg(h)<\deg(f)$.

Якщо якийсь з множників $g(x)$, $h(x)$ можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення $f(x)$ у вигляді

$f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\ldots f_{m}(x)$,

де многочлени $f_{i}(x)$ є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеня $n>0$ має рівно $n$ комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на $n$ лінійних множників:

$f(z)=c_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n}),\quad c_{n},z_{i}\in \mathbb {C}$

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Узагальнений многочлен

Нехай $\mathbf {F} =\{f_{0}(x),f_{1}(x),\dots ,f_{m}(x)\}$ — задана на $[a,b]$ система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

$P_{m}(x):=a_{0}f_{0}(x)+a_{1}f_{1}(x)++a_{m}f_{m}(x)$

де $a_{0},a_{1},\dots ,a_{m}$ — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).

Приклади

• $\mathbf {F} =\{1,x,\dots ,x^{m}\}$, многочлен
• $\mathbf {F} =\{1,\cos(x),\dots ,\cos(mx)\}$, тригонометричний многочлен
• $\mathbf {F} =\{J_{0}(x),J_{1}(x),\dots ,J_{m}(x)\}$, де $J_{\alpha }(x)$ функції Бесселя

Див. також

• Одночлен
• Многочлен Тейлора
• Матричний многочлен

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• Розклад матричних многочленів на множники: монографія / П. С. Казімірський ; [відп. ред. Д. О. Супруненко] ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. — 2-ге вид., виправл. — Львів: ІППММ, 2015. — 282 с. : 1 арк. портр. — Бібліогр.: с. 274—280 (79 назв). — ISBN 978-966-02-7655-0
• Многочлен // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.)
• Бурбаки Н. Алгебра ч.2 Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 300. — (Елементи математики)(рос.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)