Для функції y = x³ точка перегину (0,0)

Точкою перегину кривої називається точка кривої в якій змінюється знак кривини. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від ввігнутої.

ВластивостіРедагувати

  • Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′(x).
  • Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.
  • Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:
 

Значення другої похідної в точці x=0 для цієї функції рівне нулю, отже дотичною в нулі буде пряма y=0. Ця пряма також перетинає графік функції в точці дотику, однак точка x=0 не є точкою перегину оскільки в довільному околі цієї точки знак другої похідної міняється нескінченну кількість разів.

КласифікаціяРедагувати

Точки перегину можна класифікувати в залежності від того чи рівна нулю похідна f′(x) .

  • якщо f′(x) рівна нулю, точка називається стаціонарною точкою перегину, або сідловою точкою
  • якщо f′(x) не рівна нулю, точка називається нестаціонарною точкою перегину

Прикладом стаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x3. Прикладом нестаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x + x3.

ЛітератураРедагувати

  • Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1969. — Т. 1.