Точка перегину

Точкою перегину кривої називають точку кривої в якій змінюється знак кривини. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від ввігнутої.

Для функції y = x³ точка перегину (0,0)

Властивості

• Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′(x).
• Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.

• Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{c l}x^{5}(1+\sin ^{2}({\frac {1}{x}}))&x\neq 0\\0&x=0\end{array}}\right.$

Значення другої похідної в точці x=0 для цієї функції рівне нулю, отже дотичною в нулі буде пряма y=0. Ця пряма також перетинає графік функції в точці дотику, однак точка x=0 не є точкою перегину оскільки в довільному околі цієї точки знак другої похідної міняється нескінченну кількість разів.

Класифікація

Точки перегину можна класифікувати в залежності від того чи рівна нулю похідна f′(x) .

• якщо f′(x) рівна нулю, точка називається стаціонарною точкою перегину, або сідловою точкою
• якщо f′(x) не рівна нулю, точка називається нестаціонарною точкою перегину

Прикладом стаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x³. Прикладом нестаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x + x³.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)