Відкрити головне меню

Крива́ — лінія в евклідовому просторі або в многовиді.

Рівняння кривої можна задавати в параметричній формі:

де  — координати точок кривої в деякій системі координат, заданій в Евклідовому просторі або многовиді, а  — скалярний параметр (його можна фізично уявляти моментом часу t=time, а саму криву як траєкторію руху точки)

Розглянемо рівняння кривої в Декартовій системі координат -мірного Евклідового простору. Введемо позначення радіус-вектора точки кривої:

Зміст

Дотичний векторРедагувати

Похідну по параметру позначатимемо крапкою зверху:

 
 

Очевидно, що вектор   (у фізичній інтерпретації швидкість точки) є дотичним до кривої.

Довжина кривоїРедагувати

Докладніше: Довжина кривої

Квадрат відстані між двома нескінченно близькими точками   і   дорівнює:

 

Довжина відрізка кривої, коли параметр   пробігає значення від   до  , дається інтегралом:

 

Якщо в інтегралі (2) розглядати верхню межу як змінний параметр, то маємо функцію  , визначену з точністю до константи (точки відліку, або нижньої межі в інтегралі (2)). Ця величина   також параметризує точки нашої кривої;   називається натуральним параметром кривої.

Якщо вектор швидкості   ніде не перетворюється в нуль, то підінтегральна функція в (2) додатня, а отже функція   всюди монотонно зростає і має обернену функцію  .

Кривина кривоїРедагувати

Із рівності   слідує, що похідна радіус-вектора по натуральному параметру кривої:

 

є дотичним вектором одиничної довжини.

 

Диференціюючи (3) по натуральному параметру маємо:

 

Отже вектор   ортогональний до кривої. Цей вектор прийнято розкладати на добуток одиничного вектора   нормалі до кривої, та скаляра   який називається кривиною:

 

Геометричний зміст кривиниРедагувати

Покажемо (навіть двома способами), що кривина дорівнює оберненій величині до радіуса   дотичного кола:

 

Перший спосіб: через кут між дотичними векторами одиничної довжини в сусідніх точках кривої. Нехай в точці з параметром   маємо дотичний вектор  , а в точці з параметром   — дотичний вектор  . Ці два вектора мають однакову довжину (одиницю), і якщо їхні початки звести в одну точку, утворять рівнобедрений трикутник. Якщо кут між векторами позначити  , то довжина третьої сторони буде дорівнювати:

 

Оскільки для кола радіуса   маємо  , то маємо для кривини кривої:

 

Другий спосіб: через рівняння кола. Для простоти формул, візьмемо початок координат евклідового простору в точці кривої, для якої ми будемо шукати найближче коло, а також будемо відраховувати натуральні параметри кривої і кола від цієї ж точки. З точністю до членів другого порядку малості маємо для точок кривої:

 

Коло радіуса  , дотичне до вектора  , матиме центр в ортогональній до   гіперплощині. Запишемо координати центра кола у вигляді  , де   є довільним (поки що) одиничним вектором, що лежить у цій гіперплощині. Маємо ортогональність:

 

Рівняння точки кола в параметричній формі (параметром є центральний кут):

 

Врахуємо, що довжина дуги кола дорівнює  , і розкладемо останнє рівняння в ряд з точністю до доданків другого порядку малості:

 

Порівнюючи рівності (5) і (7), маємо що коло буде збігатися з кривою з точністю до членів другого порядку ( ), якщо:

 

Типи кривихРедагувати

Типи точок на кривійРедагувати

СкрутРедагувати

Якщо евклідовий простір має розмірність  , то можна поставити питання про зміну орієнтації дотичної площини (в якій лежать дотичний вектор   та вектор нормалі  ) при русі вздовж кривої. Розглянемо бівектор (спеціальну антисиметричну матрицю, компоненти якої виражені через координати векторів   і  )  :

 

Величина цього бівектора дорівнює одиниці (площі квадрата, побудованого на векторах   і  ):

 

Похідна бівектора по натуральному параметру дорівнює:

 

Звідси робимо висновок, що дві площини   і   перетинаються по прямій, дотичній до кривої (містять вектор  ):

 

Отже дотична площина при русі вздовж кривої обертається «довкола» дотичної прямої. Поворот в тривимірному просторі має очевидний зміст, в просторах більшої розмірності поворот означає кут між нормалями до спільної прямої. Похідна кута повороту по натуральному параметру називається скрутом:

 

Формули Френе-СерреРедагувати

Докладніше: Тригранник Френе

Розглянемо детальніше випадок кривої в тривимірному просторі. Два одиничні вектора   і   ми можемо доповнити третім, їх векторним добутком:

 

Ці три вектори утворюють репер (змінний базис у тривимірному просторі), і ми можемо поставити питання, як похідні по натуральному параметру від векторів репера ( ,   i  ) розкладаються по цьому ж базису. Ми вже знаємо, що  . Залишається знайти похідні ще двох одиничних векторів. Почнемо з одиничного вектора нормалі  . Із постійності величини цього вектора знаходимо:

 

Тобто похідна   ортогональна до самого вектора нормалі  , а тому розкладається по двом іншим векторам репера:

 

Користуючись цим розкладом, можна знайти і похідну  :

 

Знайдемо коефіцієнти розкладу   і  . З останньої формули видно, що   (з точністю до знаку) є швидкістю повороту одиничного вектора  , а отже і дотичної до кривої площини (  є вектором нормалі до цієї площини). Отже цей коефіцієнт є крученням:  . Коефіцієнт   можна знайти, скалярно помноживши рівність (9) на  :

 

У підсумку одержуємо систему трьох рівнянь:

 
 
 

Ці рівняння відкрили два французькі математика: Жан Фредерік Френе[en] (1852) і Жозеф Альфред Серре[fr] (1851).

Коефіцієнт   в формулах Френе-Серре може бути додатнім або від'ємним в залежності від того, правою чи лівою гвинтовою лінією апроксимується наша крива в околі даної точки.

Див. такожРедагувати