Екстремум

Екстремум — найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

• локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
• глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Зміст

Означення

Точка $x_{0}\in D$ називається точкою локального мінімуму або максимуму функції $f\colon D\to R$, якщо $\exists U_{D}(x_{0}):\forall x\in U_{D}(x_{0})~f(x)\geqslant f(x_{0})$ для точки мінімуму, або $f(x)\leqslant f(x_{0})$ для точки максимуму. Якщо знак нерівності строгий, то отримаємо строгий локальний мінімум або максимум.

Теорема Ферма

Нехай $x_{0}$ — точка екстремуму функції $f\colon D\to R$. Якщо $x_{0}$ — внутрішня точка для $D$ і $f(x)$ — диференційована в точці $x_{0}~(\exists f'(x_{0}))$, то $f'(x_{0})=0$.

Теорема Ролля

Якщо $f\colon [a;b]\to R$ неперервна на $[a;b]$, диференційована на $(a;b)$ і $f(a)=f(b)$, то $\exists \xi \in (a;b):~f'(\xi )=0$

Див. також

• Критична точка
• Задача оптимізації
• Похідна функції
• Умовний екстремум

Джерела інформації

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Східний видавничий дім, 2004—2013.