Екстремум

Екстремум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині. Розрізняють:

• локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
• глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.

Визначення

Нехай дано функцію $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ і $x_{0}\in M^{0}$ — внутрішня точка області визначення $f.$ Тоді

• $x_{0}$ називається точкою локального максимуму функції $f,$ якщо існує проколотий окіл ${\dot {U}}(x_{0})$ такий, що

  $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$

• $x_{0}$ називається точкою локального мінімуму функції $f,$ якщо існує проколотий окіл ${\dot {U}}(x_{0})$ такий, що

  $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

• $x_{0}$ називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо

  $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$

• $x_{0}$ називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо

  $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Якщо нерівності вище строгі, то $x_{0}$ називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції $f(x_{0})$ називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

Зауваження

Функція $f,$ визначена на множині $M,$ може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад, $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Необхідні умови існування локальних екстремумів

• Із леми Ферма випливає таке:

Нехай точка $x_{0}$ є точкою екстремуму функції $f$, визначеної в деякому околі точки $x_{0}$.

Тоді або похідна $f'(x_{0})$ не існує, або $f'(x_{0})=0$.

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції $f(x)=x^{3}$.

Достатні умови існування локальних екстремумів

• Нехай функція $f\in C(x_{0})$ неперервна в $x_{0}\in M^{0},$ і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$. Тоді за умови

$f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0$

$x_{0}$ є точкою строгого локального максимуму. А якщо

$f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,$

то $x_{0}$ є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці $x_{0}$.

• Нехай функція $f$ неперервна і двічі диференційовна в точці $x_{0}$. Тоді за умови

$f'(x_{0})=0$ і $f''(x_{0})<0$

$x_{0}$ є точкою локального максимуму. А якщо

$f'(x_{0})=0$ і $f''(x_{0})>0$

то $x_{0}$ є точкою локального мінімуму.

• Нехай функція $f$ диференційовна $n$ разів у точці $x_{0}$ і $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0$, а $f^{(n)}(x_{0})\neq 0$.

Якщо $n$ парне і $f^{(n)}(x_{0})<0$, то $x_{0}$ — точка локального максимуму. Якщо $n$ — парне і $f^{(n)}(x_{0})>0$, то $x_{0}$ — точка локального мінімуму. Якщо $n$ — непарне, то екстремуму немає.

Теорема Ферма

Нехай $x_{0}$ — точка екстремуму функції $f\colon D\to R$. Якщо $x_{0}$ — внутрішня точка для $D$ і $f(x)$ — диференційовна в точці $x_{0}~(\exists f'(x_{0}))$, то $f'(x_{0})=0$.

Теорема Ролля

Якщо $f\colon [a;b]\to R$ неперервна на $[a;b]$, диференційовна на $(a;b)$ і $f(a)=f(b)$, то $\exists \xi \in (a;b):~f'(\xi )=0$

Див. також

• Критична точка
• Задача оптимізації
• Похідна
• Умовний екстремум

Джерела

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.

Посилання

• Абсолютний екстремум (у математиці) [Архівовано 25 лютого 2022 у Wayback Machine.] // ВУЕ
• Означення максимуму та мінімуму функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 300. — 594 с.