Відкрити головне меню
Rolle's theorem.svg

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

ФормулюванняРедагувати

Нехай функція   неперервна на проміжку  , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку  . Нехай, окрім того,  . Тоді на проміжку   знайдеться принаймні одна точка   така, що значення похідної у цій точці   дорівнює нулю.

ДоведенняРедагувати

Оскільки функція   неперервна на проміжку  , то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення   та мінімального значення  . Отже, маємо два випадки:

  1.  ;
  2.  ;

В першому випадку  . Тому похідна   дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка  .

У випадку, коли  , оскільки  , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень   чи   досягається функцією в деякій внутрішній точці   проміжка  . Але тоді функція   має у точці   локальний екстремум. Оскільки функція   диференційовна в точці  , то за необхідною умовою локального екстремуму,  .

Геометричний зміст теоремиРедагувати

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої   рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі  .

ЛітератураРедагувати

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Див. такожРедагувати