Відкрити головне меню
Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Зміст

ПохіднаРедагувати

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкостіРедагувати

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою  , де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння,   м/с2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту  . Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту  , але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від   до   дорівнює:

 

При необмеженому зменшенні проміжку  , вираз (1) поступово наближується до  . Цю величину називають швидкістю руху в момент часу  . Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу  , проміжку часу від   до   та закону руху, який виражається формулою  . Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від   до   задається формулою  , де  , а швидкість руху у момент часу   дорівнює:

 

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу ( ,  ). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичноїРедагувати

 
Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці  . Нехай крива Г є графіком функції  . Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута  , який дотична утворює з додатнім напрямом осі  .

Позначимо через   абсцису точки  , а через   — абсцису точки  . Кутовий коефіцієнт січної   дорівнює:

 ,

де   — приріст функції на проміжку  . Якщо визначати дотичну у точці   як граничне положення січної   при   прямує до нуля, то отримаємо:

 .

Поняття похідноїРедагувати

Докладніше: Похідна

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції   у точці   називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

 .

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю  , де   — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час  , а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції   позначають  .

Якщо функція   має похідну у точці  , то вона визначена як у самій точці  , так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці  . Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція  , графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при   не має похідної, оскільки відношення   не має границі при  : якщо  це відношення дорівнює  , а якщо  , то воно дорівнює  . Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто   та  , або всерівно що  , то  

Якщо похідна   має похідну, то її називають другою похідною функції   та позначають  . З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається:  .

Таблиця похіднихРедагувати

Докладніше: Таблиця похідних

Основні похідніРедагувати

  • Похідна від сталої:  
  • Похідна від степеневої функції:  
  • Похідна від показникової функції:  
  • Похідна від експоненти:  
  • Похідна від логарифмічної функції:  
  • Похідна від натурального логарифму:  
  • Похідна від синуса:  
  • Похідна від косинуса:  
  • Похідна від тангенса:  
  • Похідна від котангенса:  
  • Похідна від арксинуса:  
  • Похідна від арккосинуса:  

Правила диференціюванняРедагувати

  • Сталу можна виносити за знак похідної:  
  • Сума та різниця похідних:  
  • Добуток похідних:  
  • Частка похідних:  

Тут   — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

ДиференціалРедагувати

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції   називається вираз  , де   приріст аргументу x.

ЛітератураРедагувати

  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

ПосиланняРедагувати