Диференціальне числення

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення
Тема вивчення/дослідження	похідна
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Класифікаційний код ACM 2012	10003734
Протилежне	інтегральне числення
Диференціальне числення у Вікісховищі

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою $s(t)={\frac {gt^{2}}{2}}$, де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, $g\approx 9{,}8$ м/с². Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту $t$. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту $t$, але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від $t$ до $t+\Delta t$ дорівнює:

${\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}=gt+{\frac {g}{2}}\Delta t\qquad (1)$

При необмеженому зменшенні проміжку $\Delta t$, вираз (1) поступово наближується до $gt$. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу $t$. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу $t$, проміжку часу від $t$ до $t+\Delta t$ та закону руху, який виражається формулою $s=f(t)$. Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від $t$ до $t+\Delta t$ задається формулою ${\frac {\Delta s}{\Delta t}}$, де $\Delta s=f(t+\Delta t)-f(t)$, а швидкість руху у момент часу $t$ дорівнює:

$v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}\qquad (2)$

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу ($t$, $t+\Delta t$). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці $M$. Нехай крива Г є графіком функції $y=f(x)$. Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута $\alpha$, який дотична утворює з додатнім напрямом осі $Ox$.

Позначимо через $x_{0}$ абсцису точки $M$, а через $x_{1}=x_{0}+\Delta x$ — абсцису точки $M_{1}$. Кутовий коефіцієнт січної $MM_{1}$ дорівнює:

$\tan \beta ={\frac {M_{1}N}{MN}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$,

де $\Delta y=M_{1}N=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ — приріст функції на проміжку $[x_{0},x_{1}]$. Якщо визначати дотичну у точці $M$ як граничне положення січної $MM_{1}$ при $x_{1}$ прямує до нуля, то отримаємо:

$\tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$.

Поняття похідної

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції $y=f(x)$ у точці $x$ називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

$y'=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю $\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}$, де $\Delta q$ — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час $\Delta t$, а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції $y=f(x)$ позначають $f'(x),y',{\frac {dy}{dx}},{\frac {df}{dx}},Df(x)$.

Якщо функція $y=f(x)$ має похідну у точці $x_{0}$, то вона визначена як у самій точці $x_{0}$, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці $x_{0}$. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція $y=|x|=+{\sqrt {x^{2}}}$, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при $x=0$ не має похідної, оскільки відношення ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ не має границі при $\Delta x\to 0$: якщо $\Delta x>0$це відношення дорівнює $+1$, а якщо $\Delta x<0$, то воно дорівнює $-1$. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто $y=f(u)$ та $u=\phi (x)$, або всерівно що $y=f[\phi (x)]$, то ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}=f'(u)\phi '(x)$

Якщо похідна $f'(x)$ має похідну, то її називають другою похідною функції $y=f(x)$ та позначають $y'',f''(x),{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},D^{2}f(x)$. З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: $y^{n},f^{n}(x),{\frac {d^{n}x}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},D^{n}f(x)$.

Таблиця похідних

Основні похідні

• Похідна від сталої: $(C)'=0\,$
• Похідна від степеневої функції: $(x^{n})'=nx^{n-1}\,$
• Похідна від показникової функції: $(a^{x})'=a^{x}\ln a\,$
• Похідна від експоненти: $(e^{x})'=e^{x}\,$
• Похідна від логарифмічної функції: $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}$
• Похідна від натурального логарифма: $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
• Похідна від синуса: $(\sin x)'=\cos x\,$
• Похідна від косинуса: $(\cos x)'=-\sin x\,$
• Похідна від тангенса: $(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
• Похідна від котангенса: $(\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$
• Похідна від арксинуса: $(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• Похідна від арккосинуса: $(\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Правила диференціювання

• Сталу можна виносити за знак похідної: $[Cf(x)]'=Cf'(x)\,$
• Сума та різниця похідних: $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$
• Добуток похідних: $[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,$
• Частка похідних: $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Тут $C,n,a(a>0)$ — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції $y=f(x)$ називається вираз $dy=y'dx$, де $dx=\Delta x$ приріст аргументу x.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ремез, Н. С. Вища математика. Спеціальні розділи: Диференціальне числення функцій двох змінних. Розрахункова робота (Електронний ресурс) [Архівовано 20 липня 2019 у Wayback Machine.] : навч. посіб. для здобувачів ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інженерна екологія та ресурсозбереження» / Н.  С.  Ремез, В.  Ф.  Мейш, В.  О.  Броницький ; КПІ ім. Ігоря Сікорського. — Електронні текстові дані (1 файл: 1,26 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019. — 77 с. — Назва з екрана.
• Математичний аналіз 1. Диференціальне числення функцій дійсної змінної. Збірник задач для розрахункових робіт (Електронний ресурс): навчальний. посібник для студентів спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: Ю.  В.  Богданський, В.  Г.  Бондаренко, А.  Ю.  Мальцев, Г.  Б.  Подколзін. — Електронні текстові дані (1 файл: 2,36 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2020. — 59 с.
• Механічний та геометричний зміст похідної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 259-261. — 594 с.
• Динамічні моделі FIZMA.neT [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.]