Опукла функція, або опукла вниз функція[1] — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

Опукла функція однієї змінної

Нехай область визначення опуклої функції лежить в скінченновимірному просторі, тоді неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функційРедагувати

Нехай   — будь-які точки із області визначення опуклої функції  ,   — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють  . Тоді

 .

Якщо   — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функціяРедагувати

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:[2]

 

або більш загально,

 

де   будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклістьРедагувати

  • Якщо f і g є опуклими функціями, тоді   і   також опуклі.
  • Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді   є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді  , також опукла, тому що   є опуклою і монотонно висхідною.
  • Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді   є опуклою.
  • Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення  , тоді   також опукла, де   з областю визначення  .
  • Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді   є опуклою по x, якщо   для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
  • Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива   (чия область визначення —  ) є опуклою.
  • Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
  • Якщо   є опуклою дійснозначимою функцією, тоді   для зліченного набору дійсних чисел  

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Заболоцький, М. В.; Сторож, О. Г.; Тарасюк, С. І. (2008). 7.3. Опуклість функції (с. 133). Математичний аналіз. Київ: Знання. с. 421. ISBN 978-966-346-323-0. 
  2. Dimitri Bertsekas (2003). Convex Analysis and Optimization. Contributors: Angelia Nedic and Asuman E. Ozdaglar. Athena Scientific. с. 72. ISBN 9781886529458. 

Джерела інформаціїРедагувати

ПосиланняРедагувати