Скінченновимірний простір

векторний простір, у якому є скінченний базис

Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.

Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.

Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.

Властивості скінченновимірних просторівРедагувати

Кожен елемент   скінченновимірного простору   можна подати єдиним чином у вигляді

 

  де   — поле (часто   або  ), над яким розглядається простір  ,   — елементи базису. Це випливає з визначення базису.

Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.

  • Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
  • Нехай   — скінченновимірний простір і   — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
  • Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
  • В будь-якому скінченновимірному просторі над полем   можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі   із фіксованим базисом, розмірності  , можна ввести скалярний добуток за правилом:

     , де   — компоненти векторів   і   відповідно.

    Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем   можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:
    •   — рефлексивний простір[1].
    • Простір  , спряжений до деякого скінченновимірного простору  , скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю  .
    • Для будь-якого підпростору   скінченновимірного простору   існує підпростір  [2] такий, що   і   розкладається в пряму суму   і  ,  .
  • В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
  • Всі норми у скінченновимірному просторі над полем   еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
  • Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
  • Простір   над полем   є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор   є цілком неперервним.
  • Простір   є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над  .
  • Простір   є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в   передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір   є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в   множина передкомпактна.
  • Будь-який лінійний оператор  , визначений у скінченновимірному просторі   є неперервним і навіть цілком неперервним.
  • У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.

ПрикладиРедагувати

  • Евклідів простір   має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів
 

Загальніший випадок — простору   розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ( ):

  або  

Якщо ввести норму   і скалярний добуток   то простір буде евклідовим.

  •   — простір усіх многочленів степеня не вище  . Розмірність цього простору  . Многочлени   утворюють у ньому базис.
  • Нехай   — довільний лінійний простір і нехай   деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Цей факт можна отримати як за допомогою теореми Ріса — Фреше, так і прямими викладками, без використання теорії гільбертових просторів.
  2.   часто називають ортогональним доповненням до  

ЛітератураРедагувати