Скінченновимірний простір

Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.

Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.

Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.

Властивості скінченновимірних просторів

Кожен елемент $x$ скінченновимірного простору $X$ можна подати єдиним чином у вигляді

$x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},$

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ де $\mathbb {P}$ — поле (часто $\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$), над яким розглядається простір $X$, $e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X$ — елементи базису. Це випливає з визначення базису.

Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.

• Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
• Нехай $X$ — скінченновимірний простір і $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$ — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
• Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
• В будь-якому скінченновимірному просторі над полем $\mathbb {R}$ можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі $X$ із фіксованим базисом, розмірності $n$, можна ввести скалярний добуток за правилом:
  
  $\forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}$, де $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ — компоненти векторів $x_{1}$ і $x_{2}$ відповідно.
  
  Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем $\mathbb {R}$ можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:
  • $X$ — рефлексивний простір.
  • Простір $X^{*}$, спряжений до деякого скінченновимірного простору $X$, скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю $X$.
  • Для будь-якого підпростору $M\subset X$ скінченновимірного простору $X$ існує підпростір $M^{\perp }\subset X$ такий, що $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ і $X$ розкладається в пряму суму $M$ і $M^{\perp }$, $X=M\oplus M^{\perp }$.
• В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
• Всі норми у скінченновимірному просторі над полем $\mathbb {R}$ еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
• Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
• Простір $X$ над полем $\mathbb {R}$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор $I:X\rightarrow X$ є цілком неперервним.
• Простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над $X$.
• Простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в $X$ передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір $X$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в $X$ множина передкомпактна.
• Будь-який лінійний оператор $A:X\rightarrow Y$, визначений у скінченновимірному просторі $X$ є неперервним і навіть цілком неперервним.
• У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.

Приклади

• Евклідів простір $\mathbb {E} ^{3}$ має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

Загальніший випадок — простору $\mathbb {R} ^{n}$ розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів ($1\leq p<\infty$):

$\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}}}$ або $\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.$

Якщо ввести норму $\|x\|_{2}$ і скалярний добуток $(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}},$ то простір буде евклідовим.

• $P^{n}$ — простір усіх многочленів степеня не вище $n$. Розмірність цього простору $n+1$. Многочлени $1,x,x^{2},...,x^{n}$ утворюють у ньому базис.
• Нехай $X$ — довільний лінійний простір і нехай $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.

Див. також

• Нескінченновимірний простір

Література

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит, 1961. — 436 с.