Лінійний неперервний оператор

лінійне відображення з одного лінійного топологічного простору в інший, що має властивість неперервності

Лінійний неперервний оператор , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем ( або ), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал[1]. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають .

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

ВластивостіРедагувати

  • Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
  • Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
  • Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.[2]. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
  • Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора   збігається з простором Y, то існує обернений оператор   (так звана теорема про обернений оператор).
  • Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то   також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й   є такою, незалежно від повноти X.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор   буде цілком неперервним оператором, область його значень   буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці[3].

Неперервність і збіжні послідовностіРедагувати

Лінійний оператор  , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності   точка X, із   випливає  .

Нехай ряд   збігається і   — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

 .

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо   слабке, то   слабке.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
  2. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98. Архівовано з джерела 2 жовтня 2021
  3. Також, у скінченновимірному просторі   із базисом  , лінійний неперервний оператор   можна подати у вигляді  , де   — функції зі спряженого простору.