Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору L називається впорядкований набір векторів {e₁, …, e_n} , якщо кожний вектор із L можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$l=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\quad a_{i}\in \mathbb {K} .$

Коефіцієнти $\ a_{i}$ називаються координатами вектора $\ l$ відносно базису ${\ e_{i}}$. Ця рівність зазвичай записується скорочено:

$a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$.

Якщо $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}),$ $b=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})$ та $\lambda$ - деяке дійсне число, то

$a=b\Leftrightarrow \alpha _{1}=\beta _{1}\land \alpha _{2}=\beta _{2}\land \alpha _{3}=\beta _{3},\quad \quad \lambda a=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}),\quad \quad a+b=(a_{1}+b_{1},\,\,a_{2}+b_{2},\,\,a_{3}+b_{3}).$

Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\ \dim L.$ Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.

Вектори базису є лінійно незалежними.

Арифметизація простору і базис

Арифметизація простору (Фрідман, 1965) полягає у приписуванні різних наборів чисел точкам, які відрізняються одна від одної. Арифметизація дозволяє одні точки виражати через інші точки за допомогою лінійних комбінацій із числовими коефіцієнтами. Найменше число точок, яке необхідне для вираження будь-якої точки за допомогою лінійної комбінації, представляє собою розмірність простору. Приписавши кожній точці певну трійку чисел та вважаючи, що кожній трійці чисел відповідає лише одна точка, отримаємо арифметизацію трьохвимірного простору. Процес арифметизації є довільним, набір чисел апріорі нічим не обмежений, але, задавши його, ми визначимо декотрі координати у просторі.

Перехід від одного способу арифметизації простору до іншого називається перетворенням координат. Незалежний вимір є одиницею розмірності простору. Кожне число в наборі, який визначає точку, відповідає одній координаті, яка представляє один незалежний вимір. Задавши координату, як незалежний вимір, необхідно обрати одиничний масштаб по цьому виміру, який дозволить порівнювати точки. Сукупність координат, яка охоплює усі незалежні виміри (напрямки) у просторі, складає систему координат. Базис визначає вибір незалежних напрямків й еталонного масштабу у кожному напрямку системи координат.

Об'єкти у просторі представляют як сукупність числових значень у кожній точці простору. Розмірність об'єкта визначається кількістю чисел, які характеризують його положення (стан) по кожном виміру (напрямку) у кожній точці. Якщо по кожному напрямку простору об'єкт виражається (характеризується) одним числом, то такий об'єкт є одновимірним (вектор). Вектор базису має одиничне значення уздовж обраного для нього напрямку і нульові значення по іншим напрямкам.

Наприклад, у двохвимірному випадку (площина) векторів базису є лише два: $e_{1}=(1,0)$ та $e_{2}=(0,1).$

Базис двохвимірного простору

Для виміру часу (тривалості) спочатку здійснюється вибір еталону, тобто періодично повторюваної події (рух небесних тіл по орбітам, стрілки годинника по циферблату, електрона Цезію тощо). Таким чином, завжди еталоном є час повного оберту по окружності або по іншій замкненій кривій.

Дві стрілки однаково відхиляються циклічно на певний певну величину кута (градус). Але кути у обох випадках відповідають різним величинам. Таким чином вимір часу зводиться до виміру кутів.

Для виміру довжини (протяжності) здійснюється вибір напрямку й вибір двох точок на лінії, відстань між якими дорівнює одиниці (еталону, наприклад, сантиметру). Процедура вимірювання: вимірювана довжина, яка визначається двома точками (початку та кінця) накладається на лінію із еталоном-масштабом й здійснюється лічення - на скільки вимірюваний шматок відрізняється від еталону.

Варто відзначити, що множина усіх відрізків, а також 0, були відображені (спроектовані) на числову вісь $x.$ Для переходу з сантиментрів на дюйми необхідно перетворити еталон виміру.

[довжина у сантиметрах] = 2,54 × [довжина у дюймах].

Якщо дана величина $A$, виміряна одиницею $\alpha _{1}$, дає число $a_{1},$ то можна написати

${\frac {A}{\alpha _{1}}}=a_{1}.$

Якщо при вимірі тієї ж довжини $A$ одиницею $\alpha _{2}$ отримується число $a_{2},$ то відповідно

${\frac {A}{\alpha _{2}}}=a_{2}$

або $A=a_{1}\alpha _{1}=a_{2}\alpha _{2}.$ Порівнюючи ці вирази, можна написати

${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}.$

Таким чином, можна говорити про тензор нульового рангу. В такому випадку тензор є механізмом перетворення одних чисел у інші. Іншими словами, тензором є лише той параметр якогось предмету, якому приписуються різні числа, однак крім того ще існує закон перетворення одних чисел у інші.

Обертання

Ліва та права системи координат у трьохвимірному просторі. Базисом є трійка векторів е1, е2, е3, кожний з яких спрямований уздовж якоїсь із осей.

Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору $e_{1},e_{2},...,e_{n}$(правий базис), або до набору $-e_{1},e_{2},...,e_{n}$ (лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині натягнутій на вектори $e_{1},e_{2}$ на кут ${\frac {\pi }{2}}$

$e_{1},e_{2},...,e_{n}\rightarrow -e_{1},e_{2},...,e_{n}$

Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки. Тобто парності числа парних перестановок індексів, які дозволяють розташувати iдекси $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ у порядку зростання $1,2,...,n.$

Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в $\mathbb {K} ^{n}$.

Див. також

• Лема Стейніца про заміну
• Ортонормований базис
• Репер (математика)

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1971. — 271 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)