Базис (математика)

Ілюстрація стандартного базису в R². Блакитний і помаранчевий вектори є елементами базису; зелений вектор може бути представлений через базисні вектори, він лінійно залежить від них.

Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору L називається впорядкований набір векторів {e₁, …, e_n} , якщо кожний вектор із L можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

$l=\sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i},\quad a_{i}\in \mathbb {K} .$

Коефіцієнти $\ a_{i}$ називаються координатами вектора $\ l$ відносно базису ${\ e_{i}}$.

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається $\ \dim L.$

Вектори базису є лінійно незалежними.

Приклад

Вектори e_i = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в $\mathbb {K} ^{n}$.

Див. також

• Лема Стейніца про заміну
• Ортонормований базис

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1971. — 271 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)