Відкрити головне меню

Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах лінійного простору.

Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.

Твердження ЛемиРедагувати

Нехай   —базис лінійного простору   а   — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:

  1.  
  2. Серед векторів   можна вибрати підмножину   з   векторів, які разом з   утворюють базу простору  .

ДоведенняРедагувати

Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною  .

Для  ,   є пустою множиною і тоді  .

Припустимо твердження є справедливим для всіх множин  , для яких  . Покажемо справедливість для  .

Визначимо множину   і  . З припущення індукції   і існує підмножина  , така що   і  . Для визначеності припустимо що  .

Оскільки множина   є базисом лінійного простору то:

 

для деяких скалярів  .

Для деякого  , виконується  , бо в іншому разі  , що суперечить лінійній незалежності векторів з  . Без втрати загальності нехай  .

Тоді

 .

Тоді  , тобто для кожного   визначені скаляри  , для яких

 .

Достатньо взяти  . Тоді  .

Також  . Якщо б було  , то   і відповідно  , що суперечило б лінійній незалежності  . Оскільки  <  то  .

ДжерелаРедагувати

  • Cohn, P. M. (1982). Algebra. Vol. 1 (вид. 2nd). Chichester: John Wiley & Sons. с. xv+410. ISBN 0-471-10169-9.