Ортонормований базис

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Загальне твердження

В кожному гільбертовому просторі ${\mathcal {U}}$ , ортонормована система векторів $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots$ утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам^[1]:

Довільний вектор $\mathbf {a} \in {\mathcal {U}}$ може бути записано у вигляді:
$\mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots$ , де ${\hat {\alpha }}_{k}=(\mathbf {u} _{k},\mathbf {a} )$ (k = 1, 2, …)
Для будь-якого вектора $\mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots$
$\|\mathbf {a} \|^{2}=|{\hat {\alpha }}_{1}|^{2}+|{\hat {\alpha }}_{2}|^{2}+\dots$ (рівність Персеваля)
Для довільної пари векторів $\mathbf {a} ={\hat {\alpha }}_{1}\mathbf {u} _{1}+{\hat {\alpha }}_{2}\mathbf {u} _{2}+\dots$ та $\mathbf {b} ={\hat {\beta }}_{1}\mathrm {u} _{1}+{\hat {\beta }}_{2}\mathrm {u} _{2}+\dots$
$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\bar {\hat {\alpha }}}_{1}\beta _{1}+{\bar {\hat {\alpha }}}_{2}\beta _{2}+\dots$
Ортонормована система u₁, u₂, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору ${\mathcal {U}}$ . Для довільного вектора $a\in {\mathcal {U}}$ із (u_k, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.