Відкрити головне меню

Векторний простір над полем називається унітарним, якщо кожній парі векторів з , взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з , що називається скалярним добутком вектора на вектор та має такі властивості:

Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): .

Поняття унітарного простору є аналогом евклідового простору.

Унітарні простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертові простори. Поняття ермітового простору припускає алгебричне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.

Приклади унітарного просторуРедагувати

Простір n-вимірних стовпчиків     де   - комплексні числа,  .

Скалярний добуток  .

Виявляється, що будь-який  -вимірний унітарний простір   є ізоморфним до  . Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базису в  

УзагальненняРедагувати

Унітарний простір є частковим випадком гільбертового простору, а саме, він є комплексним гільбертовим простором.

І саме така назва є поширенішою в сучасній літературі.

В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями.

Припустимо, що на полі   задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм порядка 2:   з інваріантним підполем   Якщо уявити собі, що поле   аналогічне до поля комплексних чисел, інволюція   — це комплексне спряження, тоді поле   аналогічне до поля дійсних чисел. Можна розглянути векторний простір   над   з сесквілінійною невиродженною ермітовою  -значною формою

 

Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над  . Якщо на додаток   є звуженням комплексного спряження на   і ермітова форма позитивно-визначена, тобто   — додатне число для будь-якого ненульового   то   називається ермітовим векторним простором над  . Ще більше узагальнення можна отримати, якщо замінити поле   на (некомутативну) алгебру з інволюцією   над   і розглянути лівий  -модуль замість векторного простору  

Викладена вище конструкція використовується у теорії алгебраїчних груп для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем   А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітового простору   тобто множину обертованих лінійних перетвореннь   які не змінюють форму, тобто виконується   для будь-яких   У такий спосіб будується сімейство близьких до простих алгебраїчних груп над полем   Зокрема, для скінченого поля   отримуємо одне з нескінчених сімейств скінчених простих груп. Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті алгебро-геометричних кодів. Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями викликають неабиякий інтерес у дискретній математиці.