Автоморфізм моделі — ізоморфізм, який відображає модель на саму себе.

Всі автоморфізми даної моделі відносно операції композиції із тотожним відображенням як нейтральним елементом утворює групу.

Група автоморфізмів моделі позначається .

Автоморфізм називається внутрішнім, якщо існує такий елемент , що , а в іншому випадку він називається зовнішнім.

Множина всіх внутрішніх автоморфізмів групи G є підгрупою групи автоморфізмів, причому .[1]

Множина автоморфізмів групи Лі також утворює групу Лі.[2]

Визначення

ред.

Алгебраїчні структури

ред.

  є алгебраїчною структурою   разом з кінцевим числом потоків  . Можуть бути алгебраїчні структури, такі як векторний простір  , група   або кільце  . Тоді під алгеброю розуміється автоморфізм   взаємно однозначне відображення множини   на себе, яка є лінійною, це означає що:   для всіх  . Зворотна функція   в цих умовах є автоматично лінійною.

Теорія категорій

ред.

Нехай   об'єкт. Морфізм   є автоморфізмом, якщо він є двосторонньо оберненим  . Тобто, відповідне відображення   існує, так що виконуються:   і  .

Автоморфізм груп

ред.
  • Група автоморфізмів групи   позначається  .
  • Відображення   — автоморфізм групи, такі автоморфізми групи називаються внутрішніми.

Множина внутрішніх автоморфізмів позначається  . Оскільки   та  , то   - нормальна підгрупа в  .

  • Фактор-група   називається групою зовнішніх автоморфізмів групи, а її елементи - зовнішніми автоморфізмами. Відображення   визначає гомоморфізм  , ядро якого є центр групи  , так що  . *
  • Всі нормальні підгрупи інваріантні під дією внутрішніх автоморфізмів. Підгрупи, інваріантні під дією всіх автоморфізмів групи, називаються характеристичними.
  • Всяка група, що збігається зі своєю групою автоморфізмів, називається досконалою. Досконалими є всі симетричні групи   при  .
  • Розширення групи, за допомогою групи автоморфізмів, називається голоморфом.

Приклади

ред.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , *  
  •   - поле характеристики більшої за 2.

Автоморфізми графів

ред.
 
Найменше асиметричне дерево
 
Найменший асиметричний граф

Автоморфізм графу є відображення безлічі вершин графу на себе, що зберігає суміжність.[3] Множина таких автоморфізмів утворює вершинну групу графу або просто групу графу. Група підстановок на множині ребер називається реберною групою графу, яка тісно пов'язана з вершинною:

Реберна і вершинна групи графу ізоморфні тоді і тільки тоді, коли є не більше однієїізольованої вершини і немає компонент зв'язності, які складаються з єдиного ребра.[4]

Граф, для якого єдиний можливий автоморфізм це тотожне відображення, називається асиметричним. Найменше асиметричне дерево має сім вершин, а найменший асиметричний граф шість вершин і стільки ж ребер.

Для будь-якої кінцевої групи знайдеться такий кінцевий неорієнтований граф, що його група автоморфізмів ізоморфна даній.[5] Результат отриманий Р. Фрухтом, в основі докази - перетворення кольорового графу групи, узагальнення графу Келі.[6][7]

Примітки

ред.
  1. Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 21
  2. Л. С. Понтрягін Неперервні групи стр. 121
  3. Ф. Харарі Теорія графів стр. 190
  4. Ф. Харарі Теорія графів стр. 192
  5. А. І. Белоусов. Дискретна математика. — 4-е вид. — МГТУ імені Н. Э. Баумана. — С. 349.
  6. Ф. Харарі Теорія графів стр. 198—201
  7. О. Оре Теорія графів стр. 317

Див. також

ред.

Література

ред.

Українською

ред.
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

ред.

Посилання

ред.