Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення

ред.

Підгрупа   групи   називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

 

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

  1.  
  2.  
  3. Множини лівих і правих суміжних класів   в   збігаються.
  4.  .

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

ред.
  •   та   — завжди нормальні підгрупи  . Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група   називається простою.
  • Всі підгрупи   абелевої групи   нормальні, тому що  . Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

ред.
Наприклад, діедральна група  
Підгрупа   ізоморфна групі Клейна і  
І далі,   але   не нормальна в   оскільки  
  • Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо   — найменший простий дільник порядку  , то довільна підгрупа індекса   нормальна.
  • Якщо   — нормальна підгрупа в  , то на множині лівих (правих) суміжних класів   можна ввести групову структуру за правилом
 
Отримана множина називається фактор-групою   за  .

Історичні факти

ред.

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Українською

ред.
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

ред.