Нейтральний елемент

Нейтра́льний елеме́нт бінарної операції — елемент, який приймаючи участь в бінарній операції, залишає незмінним інший елемент.

Якщо $(S,*)$ — множина $S$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент $e\in S$ називається нейтральним відносно цієї операції, якщо

$x*e=e*x=x,\quad \forall x\in S$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий нейтральний елемент $e_{\mathrm {l} }$, для якого

$e_{\mathrm {l} }*x=x,\quad \forall x\in S$,

• правий нейтральний елемент $e_{\mathrm {r} }$, для якого

$x*e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in S$.

В загальному випадку може існувати довільна кількість елементів, нейтральних зліва чи справа. Якщо одночасно існують лівий та правий нейтральні елементи, то вони співпадають, оскільки:

$e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }$.

Приклади

Якщо бінарна операція називається додаванням чи відніманням, то нейтральний елемент називають: нулем, нульовим елементом чи 0.

Якщо бінарна операція називається множенням чи діленням, то нейтральний елемент називають: одиницею, одиничним елементом чи 1.

Об'єкти	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Числа	$+$ (додавання)	0
Числа	$\cdot$ (множення)	1
Вектори	$+$ (додавання векторів)	${\vec {0}}$ нульовий вектор
Матриці	$+$ (додавання матриць)	нульова матриця
Матриці	$\times$ (множення матриць)	одинична матриця
Функції	$\circ$ (композиція функцій)	тотожне відображення
Множини	$\cap$ (перетин множин)	універсальна множина
Множини	$\cup$ (об'єднання множин)	$\varnothing$ (порожня множина)
Логічні змінні	$\wedge$ (кон'юнкція)	$\top$ (true)
Логічні змінні	$\lor$ (диз'юнкція)	$\bot$ (false)

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)