Відкрити головне меню

Бінарна операція на множині S є комутативною, якщо

x × y = y × x

для всіх x і yS. В іншому випадку × є некомутативною. Якщо

x × yy × x

для окремої пари елементів x, y, тоді кажуть, що x і y комутують.

Найвідомішими прикладами комутативних бінарних операцій є операції додавання «+» і множення «×» дійсних чисел, наприклад:

  • 4 + 5 = 5 + 4 (оскільки обидва вирази дорівнюють 9)
  • 2 × 3 = 3 × 2 (оскільки обидва вирази дорівнюють 6)

Серед некомутативних бінарних операцій: віднімання (ab), ділення (a/b), піднесення до степеня (ab), композиція функцій (f(g(x))), тетрація (a↑↑b).

Група, операція якої є комутативною, називається абелевою групою.

Кільце є комутативним кільцем, якщо його операція множення є комутативною; додавання є комутативним в будь-якому кільці (за означенням кільця).

Зміст

Математичне визначенняРедагувати

Термін "комутативність" використовується у декількох пов'язаних значеннях.[1][2]

1. Бінарна операція   над множиною S називається комутативною якщо:

 

Операція, що не задовольняє вищенаведеній властивості називається не комутативною.

2. Говорять, що x комутує із y при виконанні   якщо:

 

3. Бінарна функція   називається комутативною якщо:

 

ПрикладиРедагувати

Комутативні операції в повсякденному життіРедагувати

 
Збирання до купи яблук, що можна розглядати як наглядний приклад додавання натуральних чисел, є комутативним.

Надягання шкарпеток є комутативною операцією, оскільки не важливо яка шкарпетка вдягається першою. Іншими словами, результат (вдягнені будуть обидві шкарпетки), залишається однаковим. На противагу, вдягання куртки і сорочки не є комутативною.

Комутативність додавання можна спостерігати при розрахунках в магазині. В якому порядку б не було впорядковано рахунок, сума завжди буде однаковою.

Комутативні операції в математиціРедагувати

 
Додавання векторів є комутативним, оскільки  .

Два добре відомих приклади комутативних бінарних операцій:[1]

 
Наприклад 4 + 5 = 5 + 4, оскільки обидва вирази дорівнюють 9.
 
Наприклад, 3 × 5 = 5 × 3, оскільки обидва вирази дають результат 15.
Наприклад, функція Логічної еквівалентності p ↔ q є такою ж і для q ↔ p. Функцію також формулюють як умову "p тоді і тільки тоді, коли q", або записують як p ≡ q, або Epq.

Інші приклади комутативних бінарних операцій: додавання і множення комплексних чисел; додавання векторів; перетин, об'єднання та симетрична різниця множин.

Важливими некомутативними операціями є множення матриць та векторне множення.

Некомутативні операції в математиціРедагувати

Віднімання і діленняРедагувати

Віднімання є некомутативною операцією, оскільки  .

Ділення є некомутативною операцією, оскільки  .

Функції істиностіРедагувати

Деякі функції істинності не є комутативними, оскільки таблиця істинності буде різною якщо змінювати порядок операндів. Наприклад, таблиця істинності для f (A, B) = A Λ ¬B (A І НЕ B) і f (B, A) = B Λ ¬A буде наступною:

A B f (A, B) f (B, A)
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0

Множення матрицьРедагувати

Операція множення матриць майже в усіх випадках не є комутативною, наприклад:

 

Векторний добутокРедагувати

Векторний добуток двох векторів тривимірного простору є антикомутативним[en]; тобто, b × a = −(a × b).

Історія і етимологіяРедагувати

 
Перше відоме використання терміну було у французькому журналі, опублікованому в 1814

Свідчення про використання властивості комутативності існують іще з стародавніх часів. У Єгипті використовували властивість комутативності операції множення аби спростити розрахунок добутку.[3][4] Евклід у своїй книзі Елементи (Начала) також припустив про наявність властивості комутативності для множення.[5] Формальне використання властивості комутативності виникло наприкінці 18-го і на початку 19-го століть, коли математики почали роботу над теорією функцій. Сьогодні властивість комутативності є базовою для математики і використовується в багатьох її розділах.

Перше письмове використання терміну комутативність належить Франсуа Сервоісу[en] в 1814,[6][7] який використав слово комутативність при описанні функцій, які як зараз називають мали властивість комутативності. Слово поєднує в собі французьке слово commuter що означає "поміняти місцями" і суфікс -ative що означає "прагнути до" тому дослівно слово означає "прагне до заміни місцями".

Споріднені властивостіРедагувати

АсоціативністьРедагувати

Докладніше: Асоціативність

Властивість асоціативності тісно пов'язана із властивістю комутативності. Асоціативна властивість виразу, що містить два або більше операндів, над якими здійснюється однакова операція говорить те, що порядок виконування операцій в такому випадку не змінює кінцевий результат, до тих пір доки порядок операндів не змінюється. На відміну від цього, властивість комутативності говорить про те, що порядок операцій не впливає на результат.

Більшість комутативних операцій, що зустрічаються на практиці є також часто асоціативними. Однак, це не означає, що комутативність передбачає асоціативність. Як контраргумент приведено наступний приклад функції

 

яка є комутативною (зміна місцями x і y не приведе до зміни результату), але вона не буде асоціативною (оскільки, для прикладу,   але  ).

ДистрибутивністьРедагувати

Докладніше: Дистрибутивність

СиметріяРедагувати

 
Графік, що показує симетрію функції додавання

Деякі форми симетрії можуть бути напряму пов'язані із комутативністю операцій. Коли комутативний оператор записується як бінарна функція, тоді результуюча функція є симетричною вздовж прямої y = x. Наприклад, якщо ми маємо функцію f що представляє додавання (комутативна операція) то f(x,y) = x + y і тоді f є симетричною функцією, як видно із зображення праворуч.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. а б Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1
  3. Lumpkin, p.11
  4. Gay and Shute, p.?
  5. O'Conner and Robertson, Real Numbers
  6. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  7. O'Conner and Robertson, Servois