Тетрація

Тетрація (суперстепінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році

Тетрація як гіпероператор 4

$\lim _{n\rightarrow \infty }x^{\frac {n}{}}$ Нескінченне піднесення до степеня

Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   $a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$

2. множення:

   $a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$

3. піднесення до степеня:

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

4. тетрація:

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

5. пентація:

   ${_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Властивості

• На відміну від попередніх трьох гіпероперацій, тетрація не має аналітичного продовження на комплексні числа.
• Тетрація не вважається елементарною функцією.
• Тетрація некомутативна, як і піднесення до степеня, тому також має дві обернених операції — суперкорінь та суперлогарифм.
• Тетрація неасоціативна:

$^{4}2=2^{{\Big (}2^{\left(2^{2}\right)}{\Big )}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}$

Термінологія

	Термін
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}$	Тетрація
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$	Ітеративна експонента
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}$	Вкладена експонента (вежа)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Нескінченна експонента (вежа)

Позначення

Система	Позначення	Пояснення
Стандартний запис	$\,{}^{n}a$
Ітеративна експонента	$\exp _{a}^{n}(1)$
Гіпероператор	$a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)$
Позначення Кнута	$~a{\uparrow \uparrow }n$	стрілка Кнута
Позначення Конвея	$~a\rightarrow n\rightarrow 2$	ланцюжок Конвея
Функція Акермана	$^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3$	тільки для випадку a = 2
ASCII запис	a^^n	варіант стрілки Кнута

Границя

Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.

Наприклад, границя ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ рівна 2.

Це можна узагальнити аж на комплексні числа:

${}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}$

де W(z) — W-функція Ламберта.

Обернені функції

Оберненими функціями до тетрації є суперкорінь та суперлогарифм. Квадратний суперкорінь $~\mathrm {ssrt} (x)$ є оберненою функцією до $x^{x}$ :

$\mathrm {ssqrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}$

Для натуральних чисел n > 2, функція ⁿx визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n-ий суперкорінь існує при x ≥ 1.

Тетрація ^xa неперервно зростає по x, тому суперлогарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.

$~\mathrm {slog} _{a}{^{x}a}=x$

$~\mathrm {slog} _{a}a^{x}=1+\mathrm {slog} _{a}x$

$~\mathrm {slog} _{a}x=1+\mathrm {slog} _{a}\log _{a}x$

$~\mathrm {slog} _{a}x>-2$

Див. також

• Теорема Гудштейна

Посилання

• Home of Tetration^{[недоступне посилання з липня 2019]}