Суперкорінь

У математиці суперкорінь — одна з двох обернених функцій тетрації.

Так само як піднесення до степеня має дві [обернені функції (корінь і логарифм), так і тетрація має дві обернені функції: суперкорінь і суперлогарифм. Це зумовлено некомутативністю гіпероператора при $N>2$ . Суперкорінь не є елементарною функцією.

Визначення

Для будь-якого невід'ємного цілого числа $n\geqslant 0$ суперкорінь $n$ -го степеня з $a>0$ можна визначити, як один із розв'язків рівняння: ${}^{n}x=a$ .

Графік функції суперкореня другого степеня

Суперкорінь — неоднозначна функція. Так, при $n=2$ і $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1$ рівняння вигляду ${}^{2}x=a$ має два суперкорені з $a$ , причому обидва вони будуть додатні та менші від $1$ . Ця двоїстість значень пояснюється тим, що функція $f(x)={}^{n}x$ немонотонна.

Суперкорінь не завжди можна добути навіть із додатного числа, що є наслідком наявності у функцій виду $f(x)={}^{n}x$ глобального мінімуму. Наприклад, при $n=2$ похідна функції $f(x)={}^{2}x$ має одну точку екстремуму $x={\frac {1}{e}}$ , тому знаходження значень суперкореня другого степеня з $x$ при $0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}$ стає неможливим (див. графік).

Приклади

Приклади добування суперкореня з додатного дійсного числа:

Суперкорінь четвертого ступеня з 65536 дорівнює 2, оскільки $2^{2^{2^{2}}}=65536;$
Суперкорінь другого степеня з 27 дорівнює 3, оскільки $3^{3}=27;$
Суперкорінь другого степеня з ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ має два значення: ${\frac {1}{2}}$ і ${\frac {1}{4}}$ , оскільки ${\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac {1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

Суперкорінь другого степеня та функція Ламберта

Функція суперкореня другого степеня виражається через W-функцію Ламберта^[1]. А саме, розв'язком рівняння $x^{x}=a$ є

\mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))}

.

Оскільки функція Ламберта $W(z)$ є багатозначною функцією на інтервалі $(-{\frac {1}{e}},0)$ , то й отримання суперкореня другого ступеня є неоднозначною функцією на $(e^{-1/e},1)$ .

Відкриті проблеми

Для жодного цілого $n>3$ невідомо, чи є корінь рівняння ${}^{n}x=2$ раціональним, алгебричним ірраціональним чи трансцендентним числом.

Примітки

↑ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5 (28 June). — С. 333. — DOI:10.1007/BF02124750.

Посилання

Сайт про тетрацію Ендрю Робінса (англ.)
Сайт про тетрацію Даніеля Гейслера (англ.)
Форум з обговорення тетрації (англ.)
Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.

[Corless-1] Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5 (28 June). — С. 333. — DOI:10.1007/BF02124750.

[1]