Монотонна функція

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід'ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

ОзначенняРедагувати

 
Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію   Тоді

  • функція   називається зроста́ючою на  , якщо
 .
  • функція   називається стро́го зроста́ючою на  , якщо
 .
  • функція   називається спадною на  , якщо
 .
  • функція   називається стро́го спадною на  , якщо
 .
 
Приклад неспадної функції

(Строго) зростаюча чи спадна функція називається (строго) монотонною.

Інша термінологіяРедагувати

Іноді зростаючі функції називаються неспадними, а спадні функції незростаючими. Строго зростаючі функції тоді називають просто зростаючими, а строго спадні просто спадними.

Монотонність в теорії порядкуРедагувати

Теорія порядку має справу із довільними частково впорядкованими множинами і передпорядками як узагальненням дійсних чисел. Наведене вище означення монотонності доречне і в цьому випадку. Однак, термінологія різниться, бо звичне графічне представлення не застосовне для нелінійних порядків.

Позначаючи відношення часткового порядку для будь-якої частково впорядкованої множини через ≤, монотонну функцію також називають ізотонною або порядкозберігальною. Це відношення задовольняє

xy тягне за собою f(x) ≤ f(y),

для всіх x і y з її області визначення. Композиція двох монотонних відображень також монотонне відображення.

Двоїсте поняття часто називають антитонністю, анти-монотонністю або порядкообертальною. Отже, для антитонності функція f задовольняє

xy тягне за собою f(y) ≤ f(x),

для всіх x і y з її області визначення.

Константна функція одночасно монотонна і антитонна.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати