Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне неправильно. Наприклад, число — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена.
У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт серед сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо , — алгебраїчне число і — алгебраїчне, але ірраціональне, чи правильно, що — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число . Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа є трансцендентними.
Схема доведення того, що число є трансцендентнимред.
Перше доведення того, що число , основа натурального логарифма, є трансцендентним, датується 1873 роком. Надалі слідуватимемо стратегії Давида Гільберта, який спростив оригінальне доведення, запропоноване Шарлем Ермітом. Ідея полягає в застосуванні методу «від супротивного».
Припустимо, що — алгебраїчне число. Тоді існує скінченний набір цілих коефіцієнтів , що задовольняють рівняння
Для додатнього цілого числа розглянемо наступний многочлен:
і помножимо обидві частини рівняння вищевказаного рівняння на
таким чином, отримаємо:
Це рівняння можна записати в наступній формі:
де
Лема 1. Існує таке , для якого вираз є цілим ненульовим числом.
Доведення. Кожен доданок в є добутком цілого числа на суму факторіалів; це випливає з рівності
яка є справедливою для будь-якого цілого додатнього (див. Гамма-функція).
Він не дорівнює нулю, оскільки для будь-якого такого, що , підінтегральний вираз в
є добутком на суму доданків, в яких найменший степінь при дорівнює після заміни в інтегралі на . Отримаємо суму інтегралів вигляду
де , і тому вона є цілим числом, що ділиться на . Після ділення на отримаємо 0 за модулем. Проте можна записати
і тоді при діленні першого доданку на отримаємо
Тому при діленні кожного інтеграла в на лише перший не буде ділитися націло на і лише тоді, коли є простим числом і , . З цього випливає, що вираз не ділиться націло на і тому не може дорівнювати нулю.
Лема 2. для достатньо великих .
Доведення. Зауважимо, що
де — неперервні для всіх , і тому є обмеженими на проміжку . Це означає, що існують константи такі, що
для
Тому кожен з інтегралів в є обмеженим, і в найгіршому випадку
Тоді можна обмежити і :
де є незалежною від константою. З цього випливає, що
де
що завершує доведення леми.
Виберемо , що задовольняє умови обох лем. Отримаємо наступне: ціле число , що не дорівнює нулю, додане до нескінченно малої величини , дорівнює нулю, що неможливо. Тому наше припущення, що є алгебраїчним числом, хибне; отже, — трансцендентне число.