Відкрити головне меню

Трансцендентні числа — це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Зміст

ВластивостіРедагувати

ПрикладиРедагувати

ІсторіяРедагувати

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли за допомогою діофантових наближень довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа   (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеман довів теорему про трансцендентність степеня числа   з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа   і нерозв'язність завдання квадратури круга. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо  ,   — алгебраїчне число і    — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що    — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число  . Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа насправді є трансцендентними.

Схема доведення того, що число є трансцендентнимРедагувати

Перше доведення того, що число  , основа натурального логарифму, є трансцендентним, датується 1873 роком. Надалі слідуватимемо стратегії Давида Гільберта, який спростив оригінальне доведення, запропоноване Шарлем Ермітом. Ідея полягає в застосуванні методу "від супротивного".

Припустимо, що    — алгебраїчне число. Тоді існує скінченний набір цілих коефіцієнтів  , що задовольняють рівняння

 

Для додатнього цілого числа   розглянемо наступний многочлен:

 

і помножимо обидві частини рівняння вищевказаного рівняння на

 

таким чином, отримаємо:

 

Це рівняння можна записати в наступній формі:

 

де

 

Лема 1. Існує таке  , для якого вираз   є цілим ненульовим числом.

Доведення. Кожен доданок в   є добутком цілого числа на суму факторіалів; це випливає з рівності

 

яка є справедливою для будь-якого цілого додатнього   (див. Гамма-функція).

Він не дорівнює нулю, оскільки для будь-якого   такого, що  , підінтегральний вираз в

 

є добутком   на суму доданків, в яких найменший степінь при   дорівнює   після заміни в інтегралі   на  . Отримаємо суму інтегралів вигляду

 

де  , і тому вона є цілим числом, що ділиться на  . Після ділення на   отримаємо 0 за модулем  . Проте можна записати

 

і тоді при діленні першого доданку на   отримаємо

 

Тому при діленні кожного інтеграла в   на   лише перший не буде ділитися націло на   і лише тоді, коли   є простим числом і  ,  . З цього випливає, що вираз   не ділиться націло на   і тому не може дорівнювати нулю.

Лема 2.   для достатньо великих  .

Доведення. Зауважимо, що

 

де    — неперервні для всіх  , і тому є обмеженими на проміжку  . Це означає, що існують константи   такі, що

  для  

Тому кожен з інтегралів в   є обмеженим, і в найгіршому випадку

 

Тоді можна обмежити і  :

 

де   є незалежною від   константою. З цього випливає, що

  де  

що завершує доведення леми.

Виберемо  , що задовольняє умови обох лем. Отримаємо наступне: ціле число  , що не дорівнює нулю, додане до нескінченно малої величини  , дорівнює нулю, що неможливо. Тому наше припущення, що   є алгебраїчним числом, хибне; отже,    — трансцендентне число.

ЛітератураРедагувати