Трансцендентне число

Трансценде́нтні чи́сла — це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Властивості ред.

Множина трансцендентних чисел континуальна.
Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне неправильно. Наприклад, число ${\sqrt {2}}$ — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена $x^{2}-2=0$ .
Міра ірраціональності майже будь-якого (в сенсі міри Лебега) трансцендентного числа дорівнює 2.

Приклади ред.

Основа натуральних логарифмів — число e
Число $\pi$ .
Десятковий логарифм будь-якого цілого числа, окрім чисел $10^{n}$
Синус, косинус, тангенс будь-якого ненульового алгебраїчного числа $a$ (згідно з теоремою Лінденманна — Веєрштрасса).

Історія ред.

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли за допомогою діофантових наближень довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа $\mathrm {e}$ (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеман довів теорему про трансцендентність степеня числа $\mathrm {e}$ з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа $\pi$ і нерозв'язність завдання квадратури круга. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт серед сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо $a\not =0$ , $a$ — алгебраїчне число і $b$ — алгебраїчне, але ірраціональне, чи правильно, що $a^{b}$ — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число $2^{\sqrt {2}}$ . Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа є трансцендентними.

Схема доведення того, що число $\mathrm {e}$ є трансцендентним ред.

Перше доведення того, що число $e$ , основа натурального логарифма, є трансцендентним, датується 1873 роком. Надалі слідуватимемо стратегії Давида Гільберта, який спростив оригінальне доведення, запропоноване Шарлем Ермітом. Ідея полягає в застосуванні методу «від супротивного».

Припустимо, що $\mathrm {e}$ — алгебраїчне число. Тоді існує скінченний набір цілих коефіцієнтів $c_{0},c_{1},...,c_{n}$ , що задовольняють рівняння

c_{0}+c_{1}\mathrm {e} +c_{2}\mathrm {e} ^{2}+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.

Для додатнього цілого числа $k$ розглянемо наступний многочлен:

f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},

і помножимо обидві частини рівняння вищевказаного рівняння на

\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x;

таким чином, отримаємо:

c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)=0.

Це рівняння можна записати в наступній формі:

P+Q=0,

де

{\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{1}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)\\Q&=c_{1}\mathrm {e} \left(\int _{0}^{1}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+c_{2}\mathrm {e} ^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right)+\cdots +c_{n}\mathrm {e} ^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right).\end{aligned}}

Лема 1. Існує таке $k$ , для якого вираз ${\tfrac {P}{k!}}$ є цілим ненульовим числом.

Доведення. Кожен доданок в $P$ є добутком цілого числа на суму факторіалів; це випливає з рівності
$\int _{0}^{\infty }x^{j}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x=j!,$
яка є справедливою для будь-якого цілого додатнього $j$ (див. Гамма-функція).
Він не дорівнює нулю, оскільки для будь-якого $a$ такого, що $0<a\leq n$ , підінтегральний вираз в

$c_{a}\mathrm {e} ^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x$
є добутком $\mathrm {e} ^{-x}$ на суму доданків, в яких найменший степінь при $x$ дорівнює $k+1$ після заміни в інтегралі $x$ на $x-a$ . Отримаємо суму інтегралів вигляду

$\int _{0}^{\infty }x^{j}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x,$
де $k+1\leq j$ , і тому вона є цілим числом, що ділиться на $(k+1)!$ . Після ділення на $k!$ отримаємо 0 за модулем $(k+1)$ . Проте можна записати

$\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}x^{k}+\cdots \right)\operatorname {d} x,$
і тоді при діленні першого доданку на $k!$ отримаємо

${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.$
Тому при діленні кожного інтеграла в $P$ на $k+1$ лише перший не буде ділитися націло на $k+1$ і лише тоді, коли $k+1$ є простим числом і $k+1>n$ , $k+1>c_{0}$ . З цього випливає, що вираз ${\tfrac {P}{k!}}$ не ділиться націло на $k+1$ і тому не може дорівнювати нулю.

Лема 2. $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ для достатньо великих $k$ .

Доведення. Зауважимо, що
${\begin{aligned}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)\mathrm {e} ^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x),\end{aligned}}$
де $u(x),v(x)$ — неперервні для всіх $x$ , і тому є обмеженими на проміжку $[0,n]$ . Це означає, що існують константи $G,H>0$ такі, що

$\left|f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad$ для $\quad 0\leq x\leq n.$
Тому кожен з інтегралів в $Q$ є обмеженим, і в найгіршому випадку

$\left|\int _{0}^{n}f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\,\operatorname {d} x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}\mathrm {e} ^{-x}\right|\,\operatorname {d} x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,\operatorname {d} x=nG^{k}H.$
Тоді можна обмежити і $Q$ :

$|Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|\mathrm {e} +|c_{2}|\mathrm {e} ^{2}+\cdots +|c_{n}|\mathrm {e} ^{n}\right)=G^{k}\cdot M,$
де $M$ є незалежною від $k$ константою. З цього випливає, що

$\left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0,\quad$ де $k\to \infty ,$
що завершує доведення леми.

Виберемо $k$ , що задовольняє умови обох лем. Отримаємо наступне: ціле число $\left({\tfrac {P}{k!}}\right)$ , що не дорівнює нулю, додане до нескінченно малої величини $\left({\tfrac {Q}{k!}}\right)$ , дорівнює нулю, що неможливо. Тому наше припущення, що $\mathrm {e}$ є алгебраїчним числом, хибне; отже, $\mathrm {e}$ — трансцендентне число.