Міра ірраціональності

поняття з теорії діофантових наближень

Міра ірраціональності дійсного числа  — це дійсне число , що показує, наскільки добре можна наблизити раціональними числами.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — дійсне число, і нехай   — множина всіх чисел   таких, що нерівність   має лише скінченне число розв'язків у цілих числах   і  :

 

Тоді міра ірраціональності   числа   визначається як точна нижня грань  :

 

Якщо  , то вважають  .

Іншими словами,   — найменше число, таке, що для будь-якого   для всіх раціональних наближень   з досить великим знаменником  .

Можливі значення міри ірраціональностіРедагувати

Зв'язок з ланцюговими дробамиРедагувати

Якщо   — розклад числа   в ланцюговий дріб, і   —  -а відповідний ланцюговий дріб, то

 

За допомогою цієї формули особливо легко знайти міру ірраціональності для квадратичних ірраціональностей, оскільки розклади їх у ланцюгові дроби періодичні. Наприклад, для золотого перетину  , і тоді  .

Теорема Туе — Зігеля — РотаРедагувати

За лемою Діріхле, якщо   ірраціональні, то для будь-якого цілого q знайдеться ціле p таке, що  , тобто  . 1844 року Ліувілль довів теорему про те, що для будь-якого алгебричного числа   мірою   можна підібрати константу   таку, що  . 1908 року Туе посилив цю оцінку. Подальші результати в цьому напрямку отримали Зігель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Найточнішу оцінку довів Рот у 1955 році. Отриману теорему називають теоремою Туе — Зігеля — Рота[en]. Вона стверджує, що якщо   — алгебричне ірраціональне число, то  . Рот за її доведення отримав філдсівську премію.

Міра ірраціональності деяких трансцендентних чиселРедагувати

Для майже всіх трансцендентних чисел міра ірраціональності дорівнює 2. Добре відомо, що  , а також відомі числа Ліувілля, які за визначенням мають нескінченну міру ірраціональності. Однак для багатьох інших трансцендентних констант міра ірраціональності невідома, в кращому випадку, відома деяка оцінка зверху. Наприклад:

  •  
  •  [1]
  •  [2]
  •  [3]
  •  
  •  

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Doron Zeilberger, Wadim Zudilin (2019). The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137. arxiv.org. 
  2. Zudilin W. Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of ζ(2), 2013.
  3. В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3, Изв. РАН. Сер. матем., 2015, том 79, выпуск 1, 3–20

ПосиланняРедагувати