Квадратична ірраціональність

Квадрати́чна ірраціона́льність — ірраціональне число, яке є дійсним коренем деякого квадратного рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ з раціональними коефіцієнтами $a,b,c$ (або, що те саме, дійсним коренем многочлена 2-го степеня з раціональними коефіцієнтами $ax^{2}+bx+c$). У частині джерел під квадратичними ірраціональностями розуміють у загальному випадку комплексні корені зазначених рівнянь.

Ірраціональність числа $x$ означає, що його не можна подати у вигляді раціонального числа (дробу). З цього випливає, що многочлен $ax^{2}+bx+c=0$ незвідний до поля раціональних чисел $\mathbb {Q} ,$ тобто не розпадається в цьому полі на множники першого степеня.

Алгебричні властивості

Розв'язок квадратного рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ дає формула: де $D=b^{2}-4ac$ (дискримінант рівняння). Дійсність кореня означає, що $D\geqslant 0.$ Отже, будь-яка квадратична ірраціональність має вигляд:

$x=u+v{\sqrt {D}},$

де $u,v,D$ — раціональні числа, причому $v\neq 0$, а підкореневий вираз $D$ невід'ємний і не є повним квадратом раціонального числа.

Приклад: $11-{\sqrt {2}};\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

З визначення випливає, що квадратичні ірраціональності є алгебричними числами другого степеня. Відзначимо, що обернений елемент для $x=u+v{\sqrt {D}}$ також є квадратичною ірраціональністю:

${1 \over u+v{\sqrt {D}}}={u-v{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.$

Число $x'=u-v{\sqrt {D}}$ називають спряженим для $x=u+v{\sqrt {D}}.$ Виконуються формули:

$(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\frac {1}{x'}}.$

Канонічний формат

Без обмеження загальності можна спростити рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ наступним чином.

1. Коефіцієнти розглянутого рівняння 2-го степеня можна зробити цілими числами, оскільки від знаменників дробів легко позбутися, помноживши обидві частини рівняння на найменше спільне кратне всіх знаменників. Дискримінант $D$ тоді теж стає цілим числом.
2. Якщо старший коефіцієнт $a<0,$ то помножимо рівняння на $-1$.
3. Нарешті, поділимо отримане рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ на найбільший спільний дільник НСД$(a,b,c)$.

У підсумку отримаємо рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ з цілочисельними взаємно простими коефіцієнтами, причому старший коефіцієнт додатний. Це рівняння однозначно пов'язане з парою своїх коренів, і множина таких рівнянь зліченна. Тому множина квадратичних ірраціональностей також зліченна.

Часто зручно у виразі кореня $x=u+v{\sqrt {D}}$ виконати ще одну модифікацію: якщо в канонічний розклад $D$ входять будь-які квадрати, винесемо їх за знак кореня, так що значення $D$ буде вільним від квадратів.

Квадратичні поля

Сума, різниця і добуток квадратичних ірраціональностей з одним і тим самим дискримінантом $D$ або мають той самий формат, або є раціональними числами, тому разом вони утворюють поле, яке є нормальним розширенням другого степеня поля раціональних чисел ℚ. Це поле позначають $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ і називають квадратичним полем. Будь-яке таке розширення $\mathbb {Q}$ можна отримати описаним способом. Група Галуа розширення, крім тотожного автоморфізму, містить відображення ірраціонального числа в спряжене йому (в зазначеному вище сенсі).

Припустимо, що, як описано вище, $D$ — вільне від квадратів ціле число. Тоді для різних значень $D$ виходять різні квадратичні поля.

Для квадратичного поля можна побудувати його кільце цілих, тобто множину коренів зведених многочленів з цілими коефіцієнтами, у яких старший коефіцієнт дорівнює 1. Вільне від квадратів $D$ не може ділитися на 4, тому можливі два випадки, залежно від того, яку остачу дає $D$ при діленні на 4.

1. Якщо $D$ має вигляд $4k+1,$ то цілі елементи — це числа вигляду $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$, де $m,n$ — натуральне число.
2. Якщо $D$ має вигляд $4k+2$ або $4k+3,$ то цілі елементи — це числа вигляду $m+n{\sqrt {D}}$, де $m,n$ — натуральне число.

Зв'язок з неперервними дробами

Дійсні квадратичні ірраціональності пов'язані з неперервними дробами теоремою Лагранжа (іноді званою теоремою Ейлера — Лагранжа):

Дійсне число є квадратичною ірраціональністю тоді й лише тоді, коли воно розкладається в нескінченний періодичний неперервний дріб.

Приклад: Неперервний дріб, період якого починається з першої ж ланки, називають чисто періодичним. Еварист Галуа 1828 року довів: неперервний дріб для квадратичної ірраціональності $x$ буде чисто періодичним тоді й лише тоді, коли $x>1$, а спряжена ірраціональність $x'$ лежить в інтервалі $(-1;0)$. Він довів також, що в разі чисто періодичного розкладу спряжена квадратична ірраціональність має ті ж ланки, але розташовані в зворотному порядку.

Узагальнення

Квадратична ірраціональність є окремим випадком «ірраціональності $n$-го степеня», яка є коренем незвідного в полі $\mathbb {Q}$ многочлена $n$-го степеня з цілими коефіцієнтами. Раціональні числа виходять при $n=1,$ а квадратичні ірраціональності відповідають випадку $n=2.$

Деякі джерела відносять до квадратичних ірраціональностей також і комплексні корені квадратних рівнянь (наприклад, гауссові цілі числа або числа Ейзенштейна).

Г. Ф. Вороний у роботі «Про цілі алгебричні числа, що залежать від кореня рівняння 3-го степеня» (1894) поширив теорію (включно з неперервними дробами) на випадок кубічних ірраціональностей.

Історія

Феодор Кіренський і його учень Тетет Афінський (IV ст. до н. е.) першими довели, що якщо число $N$ не є повним квадратом, то ${\sqrt {N}}$ не є раціональним числом, тобто його не можна точно виразити у вигляді дробу. Це доведення спиралося на «лему Евкліда». Евклід присвятив цим питанням десяту книгу своїх «Начал»; він, як і сучасні джерела, використовував основну теорему арифметики.

Література

• Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М. : Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4. (рос.)
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М. : Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4. (рос.)
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960. Архівовано з джерела 2 Листопада 2021 (рос.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Квадратична ірраціональність(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals [Архівовано 18 Лютого 2020 у Wayback Machine.] (англ.)
• Proof that e is not a quadratic irrational (англ.)