Число Ліувілля

клас ірраціональних чисел

Число Ліувілля — ірраціональне число , яке можна наблизити раціональними числами так, що для будь-якого цілого існує нескінченно багато пар цілих () таких, що:

.

Діофантове число[1] — ірраціональне число, яке в такий спосіб подати не можна, тобто при наближенні раціональним числом помилка становить не менше деякого степеня знаменника:

.

За теоремою Ліувілля про наближення алгебричних чисел, будь-яке ірраціональне алгебричне число є діофантовим. Зокрема, будь-яке ліувіллеве число трансцендентне, що дозволяє явно будувати трансцендентні числа як суми надшвидко збіжних рядів раціональних чисел.

Діофантові числа є метрично типовими: їх множина має повну міру Лебега. Числа Ліувілля, навпаки, типові з топологічної точки зору: їх множина залишкова.

Міра ірраціональності чисел Ліувілля: , крім того, якщо міра ірраціональності числа нескінченна, то воно ліувіллеве (іноді цю властивість приймають як визначення чисел Ліувілля).

Класичний приклад ліувіллевого числа — стала Ліувілля, яку визначають як:

Примітки

ред.
  1. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.