Відкрити головне меню

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа,підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен

де і f(α) = 0.

У даному визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Зміст

ПрикладиРедагувати

  • Всі раціональні числа є алгебраїчними: число   є, наприклад, коренем рівняння b x - a = 0.
  • Уявна одиниця, число   є алгебраїчним, як корінь рівняння x2 + 1 = 0.
  • Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
  • Якщо   — алгебраїчні числа, тоді   — трансцендентне число.
  • Числа   і   є алгебраїчними (кути в радіанах).
Цей факт випливає з тригонометричної рівності:
 
Тому якщо визначити послідовність многочленів:
 
то   Звідси одержуємо:
  тобто   є коренем многочлена   що й доводить твердження.
Для   достатньо зазначити, що всі степені x в   є парними і що  

Мінімальний многочленРедагувати

Якщо   — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких   є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним  . Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа  .

  • Степінь мінімального многочлена   називається степенем алгебраїчного числа  .
  • Інші корені мінімального многочлена   називаються спряженими до  .
  • Висотою алгебраїчного числа   називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого   є коренем.

Мінімальний многолен числа   має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли   — ціле алгебраїчне число.

ПрикладиРедагувати

  • Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
  • Уявна одиниця   так само як   є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно   та  .
  • При будь-якому натуральному  ,   є алгебраїчним числом  -го степеня.

Поле алгебраїчних чиселРедагувати

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α−1, а також сума α + β і добуток αβ також є алгебраїчними числами.

ДоведенняРедагувати

  • Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо f(x) — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена f(−x). Тобто -α — алгебраїчне число.
  • Якщо α — корінь многочлена   то α-1 є коренем многочлена   отже α-1 теж є алгебраїчним числом.
  • Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена   і β є коренем многочлена  . Нехай α1= α, α2, ..., αn — всі корені f(x) (враховуючи їх кратність, так що степінь f(x) рівний n) і нехай β1= β, β2, ..., βm — всі корені g(x). Розглянемо многочлен:
 
Множина   є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти F(x) є симетричними многочленами від чисел α1= α, α2, ..., αn. Тому якщо, σ1, σ2, ..., σnелементарні симетричні многочлени від α1= α, α2, ..., αn і A — деякий коефіцієнт (при xk) многочлена F(x), тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ1, σ2, ..., σn, β1, β2, ..., βm) для деякого многочлена B з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти F(x) також є симетричними многочленами від чисел β1, β2, ..., βm. Нехай   і σ1', σ2', ..., σm' — елементарні симетричні многочлени від β1= β, β2, ..., βm тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm') для деякого многочлена B' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому   і оскільки α + β є коренем F(x) це число є алгебраїчним.
  • Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:
 

ВластивостіРедагувати

  • Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
  • Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
  • Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
  • Для довільного алгебраїчного числа   існує таке натуральне  , що  ціле алгебраїчне число.
  • Алгебраїчне число   степеня   має   різних спряжених чисел (включаючи саме число   ).
  •   і   спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля  , що переводить   у  .
  • В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
    • Теорема Ліувіля: якщо   є коренем многочлена   степінь якого рівний n, тоді існує число A залежне від α, що
  для довільного раціонального числа  
    • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо   є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел (a, b) де b > 0 для яких:
 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
  • Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
  • Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
  • Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
  • Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
  • Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
  • Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
  • Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X