Відкрити головне меню

Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду

де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:

Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді , коли воно раціональне.

Розклад в ланцюговий дрібРедагувати

Будь-яке дійсне число   може бути представлене ланцюговим дробом  , де

 
 
 
 
 

де   позначає цілу частину числа  .

Для раціонального числа   цей розклад завершиться після одержання нульового   для деякого n. В цьому випадку   представляється скінченним ланцюговим дробом  .

Для ірраціонального   всі величини   будуть ненульовими и процес розкладу можна продовжувати нескінченно.

Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.

Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
         
         
         
      STOP
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
 

Приклади розкладуРедагувати

  •  

якщо проте використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:  

  •  

Якщоn ціле число більше одиниці,

  •  

Якщо також n парне:

  •  

при n = 1:

  •  
  •  

якщо n додатне число; також

  •  

якщо n > 1,

  •  

ВластивостіРедагувати

  • Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
 
  • Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'зком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
Наприклад:
 
золотий поділ  
  • Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
  • Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2.6854520010...)

n-им наближеним дробом для ланцюгового дробу  , називається скінченний ланцюговий дріб  , значення якого можна подати  .

 
 
  •  
     

Звідси випливає наступне твердження:

  • наближений дріб   є найкращим наближенням для   серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує  ;

ЗастосуванняРедагувати

  • при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
 

Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.

  • Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність дзета-функції Рімана   числа пі.
  • Алгоритми факторизації SQUFOF и CFRAC.
  • Характеристика ортогональних многочленів
  • Характеристика стабільних многочленів
  • Алгоритм Ланцоша використовує ланцюгові дроби для обчислення власних значень великих розріджених матриць.

ЛітератураРедагувати