Ірраціональне число
Ірраціональні числа (позначення для множини — ) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: , — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел (, ), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.
Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда[джерело?], виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.
Відмінності записування дійсних чисел
ред.Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:
- ,[1] що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
- , що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
- , що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто повторюється нескінчену кількість разів;
- , скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих»,[2] тобто повторюється нескінчену кількість разів;
- , ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді»,[3] тобто повторюється нескінчену кількість разів.
Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.
Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.
Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.
Приклади
ред.Квадратні корені
ред.Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.
Приклади
ред.- — скінченний;
- — з періодом довжини один;
- — з періодом довжини два;
- (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей [Архівовано 5 березня 2007 у Wayback Machine.]) — неперіодичний.
Філософське значення
ред.Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа (перше знайдене І. ч.).
Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.
З'ясування того, що не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.
Властивості
ред.- Будь-яке дійсне число можна записати нескінченним десятковим дробом, проте тільки І. ч. записують неперіодичними десятковими дробами.
- Сума двох додатних І. ч. може бути раціональним числом.
- Кожне І. ч. визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел , для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому — найменшого числа.
- Кожне І. ч. є або алгебраїчним, або трансцендентним. Кожне дійсне трансцендентне — ірраціональним.
- Множина І. ч. скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними числами є І. ч. (і навіть нескінченно багато).
- Порядок на множині І. ч. — ізоморфний порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
- Множина І. ч. є незліченною, другої категорії.
Топологічні властивості
ред.- є підпростором евклідового простору ;
- є Gδ-множиною, але не Fσ-множиною в , фактично: ;
- є метричним простором, цілком нормальним і паракомпактним;
- є повним простором другої категорії;
- є сепарабельним простором;
- задовольняє другу аксіому зліченності;
- не є локально-компактним і σ-локально-компактним;
- є цілком відокремленим;
- є щільним у собі;
- не є розсіяним;
- є нульвимірним.
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини — дужки замість верхньої риски.
- ↑ Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знаку можуть стояти самі нулі ( ), відкиданням яких отримують скінченні дроби.
- ↑ Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що .
Література
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446