Відкрити головне меню

Ірраціональні числа

Числа, які неможливо записати звичайним дробом
Математична константа пі (π) є ірраціональним числом.
Число є ірраціональним числом.

Ірраціональні числа (позначення для множини — ) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: , — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел (, ), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда[джерело?], виявили неспівмірність з одиничною деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше були приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи-то першим знайшов, чи-то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чиселРедагувати

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

  •  ,[1] що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто   повторюється нескінчену кількість разів;
  •  , що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто   повторюється нескінчену кількість разів;
  •  , що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто   повторюється нескінчену кількість разів;
  •  , скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих»,[2] тобто   повторюється нескінчену кількість разів;
  •  , ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді»,[3] тобто   повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

ПрикладиРедагувати

Квадратні кореніРедагувати

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

ПрикладиРедагувати

  — скінченний;
  — з періодом довжини один;
  — з періодом довжини два;
  (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

Філософське значенняРедагувати

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа   (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що   не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

ВластивостіРедагувати

Топологічні властивості  Редагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини — дужки замість верхньої риски.
  2. Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знака можуть стояти самі нулі ( ), відкиданням яких отримують скінченні дроби.
  3. Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що  .
    Докладніше: 0,(9)

ЛітератураРедагувати

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.