Берівський простір

Берівський простір — вид топологічних просторів, названий на честь французького математика Рене-Луї Бера.

Нехай $(X,\tau )$ — топологічний простір. Тоді $X$ називається берівським простором якщо перетин зліченної кількості відкритих щільних множин буде щільною підмножиною $X$.

Приклади

• Простір дійсних чисел $\mathbb {R}$ і загалом кожен евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$ є простором Бера.
• Кожен дискретний простір є берівським простором.
• Довільний повний метричний простір і локально компактний гаусдорфів простір є просторами Бера.
• Множина Кантора є берівським простором.

Властивості

Нехай $(X,\tau )$ — топологічний простір. Наступні твердження є рівносильними:

• $X$ є берівським простором,
• жодна відкрита непуста підмножина $X$ не є множиною першої категорії,
• Множина внутрішніх точок зліченної суми замкнутих ніде не щільних множин є пустою,
• для кожних замкнутих множин $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \subseteq X$, якщо ${\rm {int}}{\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset$, то ${\rm {int}}(F_{i})\neq \emptyset$ для деякого $i$.

Див. також

• Множина першої категорії
• Ніде не щільна множина