Відкрити головне меню

Метри́чний про́стір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначенняРедагувати

Метричним простором називається пара  , яка складається з деякої множини елементів   і відстані  , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції  , визначеної для  , яка задовольняє такі 3 аксіоми:

  1.   (аксіома тотожності).
  2.   (аксіома симетрії).
  3.   (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

 

Приклади метричних просторівРедагувати

  1. Простір ізольованих точок
     
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір  
     
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел   з відстанню
     
    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором  .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел  , але з відстанню
     
    позначимо простором  .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
     
    Цей простір   в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір  .
  6. Множина   всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку   з відстанню
     
  7. Позначимо через   метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності   дійсних чисел, що задовольняють умові:  , а відстань визначається формулою:
     
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку  , але відстань визначимо по-іншому, а саме:
     
    Такий метричний простір позначимо   і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей   дійсних чисел, отримаємо простір   з метрикою:
     
  10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
     ,
    де   — будь-яке фіксоване число  . Цей простір позначимо  

Метричні простори та аксіоми зліченностіРедагувати

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжністьРедагувати

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки   метричного простору   визначимо відкриту кулю радіуса   з центром в точці  , як множину  . Такі відкриті кулі породжують топологію на  , а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина   метричного простору   називається відкритою, якщо  , такий що   Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки   називається будь-яка відкрита підмножина  , що містить  .

Послідовність   метричного простору   називається збіжною до границі   тоді і тільки тоді, коли   Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина   метричного простору   замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність   збіжна в   і має границю, що належить  .

Гомеоморфізм. ІзоморфізмРедагувати

Якщо відображення   взаємно однозначне, то існує обернене відображення   простору   на простір  . Якщо відображення   взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори   та  , між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція   між метричними просторами   і   є ізометрією, якщо  . Простори   і  , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторівРедагувати

Повні просториРедагувати

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору:  .

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо   повна підмножина метричного простору  , то   є замкненим в  . Дійсно, простір   є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі  .

Якщо   — повний метричний простір, то   є множиною другої категорії (англ.).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1.