Метричний простір

Метри́чний про́стір — це множина об'єктів довільної природи, для яких введено поняття відстані між елементами (числами, n-дійсними числами, n-вимірними векторами, функціями, наборами функцій, тощо).

Формальне визначення

Метричним простором називається пара $(X,\;d)$, яка складається з деякої множини елементів $\;X$ і відстані $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$, а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції $\;d(x,y)$, визначеної для $\forall x,y\in X$, яка задовольняє такі 3 аксіоми:

1. $d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y$ (аксіома тотожності).
2. $d(x,\;y)=d(y,\;x)$ (аксіома симетрії).
3. $d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)$ (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

$0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$

Приклади метричних просторів

1. Простір ізольованих точок
   $d(x,y)={\begin{cases}0,&x=y\\1,&x\neq \ y\end{cases}}$
2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір $\mathbb {R} ^{1}$
   $d(x,\;y)=|x-y|$
3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ з відстанню
   $d(x,\;y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}}}$
   називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором $\mathbb {R} ^{n}$.
4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, але з відстанню
   $d_{1}(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|$
   позначимо простором $\mathbb {R} _{1}^{n}$.
5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:
   $d_{\infty }(x,\;y)=\max _{1\leqslant k\leqslant n}|y_{k}-x_{k}|$
   Цей простір $\mathbb {R} _{\infty }^{n}$ в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$.
6. Множина $C_{[a,b]}$ всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку $[a,b]$ з відстанню
   $d(f,\;g)=\max _{a\leqslant t\leqslant b}|g(t)-f(t)|$
7. Позначимо через ${\mathit {l}}_{2}$ метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )$ дійсних чисел, що задовольняють умові: $\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{2}<\infty$, а відстань визначається формулою:
   $d(x,y)={\sqrt {\sum _{k=1}^{\infty }(y_{k}-x_{k})^{2}}}$
8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку $[a,b]$, але відстань визначимо по-іншому, а саме:
   $d(x,y)=\left(\int _{a}^{b}(x(t)-y(t))^{2}\right)^{1/2}$
   Такий метричний простір позначимо $C_{2}[a,b]$ і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots )$ дійсних чисел, отримаємо простір ${\mathit {m}}$ з метрикою:
   $d(x,\;y)=\sup _{k}|y_{k}-x_{k}|$
10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    $d(x,\;y)=(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}-x_{k}|^{p})^{1/p}$,
    де $p$ — будь-яке фіксоване число $\geqslant 1$. Цей простір позначимо $\mathbb {R} _{p}^{n}$

Метричні простори та аксіоми зліченності

1. Будь-який метричний простір задовольняє першу аксіому зліченності.

Доведення  

Нехай $\;a$ — довільна точка метричного простору $\;X$, тоді як зліченну визначальну систему околів можна взяти кулі $U\left(a,{1 \over n}\right)\equiv \left\{x\in X|d(a,x)<{\frac {1}{n}}\right\},n\in \mathbb {N}$.
Тоді, для кожної граничної точки знайдеться збіжна послідовність точок із цієї множини.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовольняє другу аксіому зліченності.

Доведення  

Зліченну базу топології такого простору утворюють, наприклад, такі відкриті кулі: $U\left(x_{n},{\frac {1}{m}}\right),n,m\in \mathbb {N} ,$ де ${\;x_{n}}$ — зліченна скрізь щільна множина, а змінні $m,\;n$ пробігають всі натуральні числа незалежно одна від одної.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природним чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки $\;x$ метричного простору $\;X$ визначимо відкриту кулю радіуса $\;r>0$ з центром в точці $\;x$, як множину $B(x,r)\equiv \{y\in X|d(x,y)<r\}$. Такі відкриті кулі породжують топологію на $\;X$, а отже й топологічний простір. Породжена топологія задовольняє багатьом умовам, наприклад всім аксіомам віддільності.

Підмножина $\;U$ метричного простору $\;X$ називається відкритою, якщо $\forall x\in U\;\exists r>0$, такий що $B(x,r)\subset U.$ Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки $x\in X$ називається будь-яка відкрита підмножина $\;X$, що містить $\;x$.

Послідовність $\{\;x_{n}\}$ метричного простору $\;X$ називається збіжною до границі $x\in X$ тоді і тільки тоді, коли $\forall \epsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N\;d(x_{n},x)<\epsilon .$ Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина $\;A$ метричного простору $\;X$ замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність $\;A$ збіжна в $\;X$ і має границю, що належить $\;A$.

Гомеоморфізм. Ізоморфізм

Якщо відображення $\;f:X\to Y$ взаємно однозначне, то існує обернене відображення $\;x=f^{-1}(y)$ простору $\;Y$ на простір $\;X$. Якщо відображення $\;f$ взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори $\;X$ та $\;Y$, між якими можна встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція $\;f$ між метричними просторами $(X,\;d_{1})$ і $(Y,\;d_{2})$ є ізометрією, якщо $d_{1}(x_{1},x_{2})=d_{2}(f(x_{1}),f(x_{2}))\;\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$. Простори $\;X$ і $\;Y$, між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їхніми елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їхніх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєво. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторів

Повні простори

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору: $\forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,\forall m>N:d(x_{n},x_{m})<\varepsilon$.

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине (з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо $\;X$ повна підмножина метричного простору $\;M$, то $\;X$ є замкненим в $\;M$. Дійсно, простір $\;X\subset M$ є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі $\;M$.

Якщо $\;(X,d)$ — повний метричний простір, то $\;X$ є множиною другої категорії (Теорема Бера про категорії).

Див. також

• Повний метричний простір
• Категорія метричних просторів
• Нормований простір
• Неархімедова метрика
• Відстань Гаусдорфа
• Скінченний топологічний простір

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)

Посилання

• Introduction to Metric Spaces. MIT OpenCourseWare (англ.). Процитовано 15 листопада 2023.