Відкрити головне меню

Топологічний простір

об'єкт вивчення в топології

Топологічний простір — це впорядкована пара (X, Γ), де X — множина, а Γ — система підмножин множини X (їх називають відкритими), що задовільняє таким умовам:

  1. Порожня множина та множина X належать Γ.
  2. Об'єднання довільного набору множин з Γ також належить Γ.
  3. Перетин скінченного набору множин з Γ також належить Γ.

Тоді множина Γ називається топологією над множиною X, а елементи X є точками. Множини в Γ називають відкритими, їхнє доповнення відповідно замкненими множинами.

Поняття топологічного простору успішно застосовується у багатьох розділах сучасної математики як спільне, об'єднувальне поняття. Вивченням топологічних просторів займається топологія.

Зміст

Порівняння топологійРедагувати

Нехай над деякою множиною X визначено різні топології Γ1 та Γ2. Якщо будь-яка множина з топології Γ1 також належить Γ2, то кажуть, що топологія Γ1 грубша за топологію Γ2, відповідно, топологія Γ2 тонша за топологію Γ1.

Найтоншою топологією на множині X є топологію, в якій всі множини є відкритими (тобто топологію яка складається із усіх підмножин множини X). Така топологія називається дискретною.

Найгрубшою є топологія Г = {  , X} (антидискретна топологія).

База топологіїРедагувати

Топології найчастіше визначаються задопомогою баз. Підмножина   множини відкритих множин топології називається базою топології, якщо кожна відкрита множина є об'єднанням елементів множини  .

Наприклад, множина відкритих відрізків   дійсної прямої   є базою стандартної топології. Коли говорять про відкриті та замкнені підмножини дійсної прямої, як правило мають на увазі цю топологію.

ПрикладиРедагувати

Будь-який евклідів простір   є топологічним простором. Базою топології для них можна обрати множину відкритих куль, або відкритих кубів.

Взагалі кажучи, будь-який метричний простір є топологічним простором, базою топології якого є множина відкритих куль. У функціональному аналізі такими є нескінченновимірні простори функцій.

Якщо взяти множину відрізків вигляду   на дійсній прямій  , то ми отримаємо «топологію стрілки».

Неперервні функціїРедагувати

Функція f : X1X2, де (X1, Γ1) та (X2, Γ2) — топологічні простори називається неперервною, якщо прообразом будь-якої відкритої множини в (X2, Γ2) є відкрита множина в (X1, Γ1) . Можна довести що у випадку метричних просторів таке означення збігається з означенням неперевності функції в термінах  . Інтуїтивно це можна представити як відсутність «дірок», «різких коливань» функції. Гомеоморфізмом називають неперевне бієктивне відображення, обернене до якого відображення також є неперевним. Два простори називаються гомеоморфними, якщо між ними існує гомеоморфмізм. З точки зору топології, гомеоморфні простори є ідентичними за властивостями.

Індукована топологіяРедагувати

Якщо (Х,Г) є топологічним простором і А — будь-яка підмножина Х, можна зробити з А топологічний простір, означаючи топологію   на А, яка складається з всіх підмножин А які можуть бути виражені як перетин елементів Г з А,  .   називається індукованою (відносною) топологією.

Топологія добуткуРедагувати

Якщо (X1, Γ1) і (X2, Γ2) — топологічні простори, то можна зробити добуток   топологічним простором, означаючи топологію Γ на ньому як таку що містить всі підмножини Х1×Х2 які можуть бути виражені у формі об'єдання множин форми  . Г називають топологією добутку. Використовуючи стандартну топологію для   можна з допомогою цього означення побудувати топології на  , причому ми отримаємо таку ж топологію як і при означенні через об'єдання відкритих куль.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати